求证通项为根号(N平方+N)分之一的和的极限等于1,N趋向无穷即求证1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)的极限等于1,N趋向无穷
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 06:25:30
求证通项为根号(N平方+N)分之一的和的极限等于1,N趋向无穷即求证1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)的极限等于1,N趋向无穷
求证通项为根号(N平方+N)分之一的和的极限等于1,N趋向无穷
即求证1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)的极限等于1,N趋向无穷
求证通项为根号(N平方+N)分之一的和的极限等于1,N趋向无穷即求证1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)的极限等于1,N趋向无穷
N/(N^2 + 1)^(1/2) > 1/(N^2 + 1)^(1/2) + 1/(N^2 + 2)^(1/2) + ...+ 1/(N^2 + N)^(1/2) > N/(N^2 + N)^(1/2),
lim_{N->+无穷}[N/(N^2 + 1)^(1/2)] = lim_{N->+无穷}[1/(N^(-2) + 1)^(1/2)] = 1
lim_{N->+无穷}[N/(N^2 + N)^(1/2)] = lim_{N->+无穷}[1/(N^(-1) + 1)^(1/2)] = 1
所以,
当N->+无穷时,1/(N^2 + 1)^(1/2) + 1/(N^2 + 2)^(1/2) + ...+ 1/(N^2 + N)^(1/2)的极限存在,且
lim_{N->+无穷}[1/(N^2 + 1)^(1/2) + 1/(N^2 + 2)^(1/2) + ...+ 1/(N^2 + N)^(1/2)] = 1
1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N
< 1/√N^2+1/√N^2+`````+1/√N^2 = 1
1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)
> 1/√(N^2+N)+1/√(N^2+N)+`````+1/√(N^2+N)
= N/√{(N+0.5)^2-0.25}
所以极限为1
我记得这个极限好像不等于1。
因为1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+...+1/√(N^2+N
< 1/√N^2+1/√N^2+`...+1/√N^2 = 1
1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+....+1/√(N^2+N)
> 1/√(N^2+N)+1/√(N^2+N)+...+1/√(N^2+N)
= N/(√N^2+N)
N无穷时，limN/(√N^2+...
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因为1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+...+1/√(N^2+N
< 1/√N^2+1/√N^2+`...+1/√N^2 = 1
1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+....+1/√(N^2+N)
> 1/√(N^2+N)+1/√(N^2+N)+...+1/√(N^2+N)
= N/(√N^2+N)
N无穷时，limN/(√N^2+N))=1
又根据两边夹定理，即可证明出1/√(N^2+1)+1/√(N^2+2)+`````+1/√(N^2+N)的极限等于1,N趋向无穷
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