在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1,求tan(A/2)tan(C/2)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:33:53
在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1,求tan(A/2)tan(C/2)的值
在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1,求tan(A/2)tan(C/2)的值
在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1,求tan(A/2)tan(C/2)的值
半角的正弦公式（降幂扩角公式）
sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2
得：2sin^2(B/2)=1－cosB
sin^2(A/2)+sin^2(C/2)=1-1/2(cosA+cosC)=cosB
cosA+cosC=2(1-cosB)=4sin^2(B/2)……①
在△ABC中,A+B+C=π,于是
B/2=(π-A-C)/2,sinB/2=sin(π-A-C)/2=cos(A+C)/2
而cosA+cosC=2cos(A+C)/2cos(A-C)/2,代入①式化简,可得：
cos(A-C)/2=2cos(A+C)/2
即：
cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=2cosA/2cosC/2-2sinA/2sinC/2
亦即：
cosA/2cosC/2=3sinA/2sinC/2
故：
tanA/2tanC/2=1/3
附：
在△ABC中,由射影定理得：
a=bcosC+ccosB
c=bcosA+acosB
于是：
a+c=b（cosC+cosA）+（c+a）cosB
(a+c)（1-cosB）=b（cosA+cosC）
故：(cosA+cosC)/(1-cosB)=(a+c)/b
根据以上①式,得：(a+c)/b=2
说明：本题思维可以非常发散,并能够得出许多有益结论：
(1) sinA+sinC=2sinB;
(2) S = 0.75b^2*tg(B/2)
(3) 各边所对应的高线成调和数列;
(4) 三角形三边成等差数列的充要条件为：cosA+2cosB+cosC=2（由①式可推出）
另外,查阅三角形三边成等差数列的若干特征性质,希望能够得到更多帮助.
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