求高等数学上一道高阶导数题,例3是如何推导来的,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 01:27:52
求高等数学上一道高阶导数题,例3是如何推导来的,
求高等数学上一道高阶导数题,例3是如何推导来的,
求高等数学上一道高阶导数题,例3是如何推导来的,
此题运用的就是例二的结论,首先确定该多项式为几次多项式,多项式的次数由最高次数确定,显然前面一个括号的最高次为X的20次幂,后面一个括号的最高次为X的9次幂,多项式的次数为29次幂,即题中所说的X的29次幂 低于29次的各项,我们知道X的10次幂的十阶导数为10!,十一阶导数就为0咯,同理,低于29次的各项的29阶导数为0,那么X的29次幂 低于29次的各项的30阶导数自然就为0啦,明白了吧.
解∵f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]^2
∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3
f'''(x)=3![f(x)]^4
.........
f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
现在用数学归纳法证明它的正确性：
(1)当n=2时，左边...
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解∵f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]^2
∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3
f'''(x)=3![f(x)]^4
.........
f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
现在用数学归纳法证明它的正确性：
(1)当n=2时，左边=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3
右边=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3
∴左边=右边，原式成立。
(2)假设当n=k时，原式成立，即f(x)的k阶导数=k![f(x)]^(k+1)
当n=k+1时，左边=f(x)的(k+1)阶导数
=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)
=(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2
=(k+1)![f(x)]^(k+2)
=右边
综合(1),(2)知f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
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