已知函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求f′(x)及函数y=f′(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)=f(x)f′(x)+f^2(x)的值域.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/18 13:55:22
已知函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求f′(x)及函数y=f′(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)=f(x)f′(x)+f^2(x)的值域.
已知函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求f′(x)及函数y=f′(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)=f(x)f′(x)+f^2(x)的值域.
已知函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求f′(x)及函数y=f′(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)=f(x)f′(x)+f^2(x)的值域.
⑴f'(x)=cosx-sinx
=√2cos(x+π/4)
最小正周期T=2π/1=2π;
⑵f(x)=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
∴F(x)=f(x)·f'(x)+f²(x)
=2sin(x+π/4)cos(x+π/4)+2sin²(x+π/4)
=sin(2x+π/2)+1-2sin²(x+π/4)-1
=cos2x+cos(2x+π/2)-1
=cos2x-sin2x-1
=√2cos(2x+π/4)-1
∴当cos(2x+π/4)=-1时,F(x)有最小值为-√2-1,
当cos(2x+π/4)=1时,F(x)有最大值为√2-1,
∴F(x)值域为[-√2-1,√2-1].
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(1)
∵ f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f′(x)=cosx-sinx=√2cos(x+π/4)
∴ 两函数最小正周期均为2π
(2)
∵ F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)
=(cosx-sinx)(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
...
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(1)
∵ f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f′(x)=cosx-sinx=√2cos(x+π/4)
∴ 两函数最小正周期均为2π
(2)
∵ F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)
=(cosx-sinx)(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
=(cos²x-sin²x)+(sin²x+cos²x+2sinxcosx)
=sin2x+cos2x+1
=√2sin(2x+π/4)+1
当x∈[0,π/2]时
2x+π/4∈[π/4,5π/4]
∴函数F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)的值域为[0,√2+1]
收起
D[Cos[x] + Sin[x], x] =Cos[x] - Sin[x] 蓝色 f(x),红色f'(x) 最小正周期 2PI F(x)=f(x)f′(x)+f^2(x) 最大值的数值解在2.4左右,没算出解析解