向量组的秩 和线性无关组A的秩为r向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air; 则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.这个怎么理解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:46:01
向量组的秩 和线性无关组A的秩为r向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air; 则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.这个怎么理解
向量组的秩 和线性无关组
A的秩为r
向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air;
则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因
ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.
这个怎么理解啊?
我想问的是：
为什么ai1,ai2,...air B ,这个组向量r+1个向量，是相关的？
还有另外一个问题：
向量组A：a1,a2,...ak 秩为r,
则A中任意r个线性无关向量都是A的一个最大线性无关组。
有证明如下：设A中任意r个线性无关的向量为ai1,ai2,...air
对于A中任意向量ai
则ai1,ai2,...air,ai 线性相关，而ai1,ai2,...air 线性无关，故ai可以用ai2,...air,ai 线性表示
所以是A的一个最大线性无关组。
上面论证中，如何把秩这个条件联系起来啊？
向量组的秩 和线性无关组A的秩为r向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air; 则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.这个怎么理解
因为向量组A的秩为r,且ai1,ai2,...air是A的一个线性无关组,所以ai1,ai2,...air是A的一个最大线性无关组,所以ai1,ai2,...air ,B ,这r+1个向量必线性相关,否则,ai1,ai2,...air ,B ,这r+1个向量就是向量组A的一个线性无关组,因此A的秩大于r,这与已知A的秩为r相矛盾.
在你的证明中,因为ai1,ai2,...air线性无关,且向量组A的秩为r,所以ai1,ai2,...air,ai 这r+1个向量必线性相关（否则,向量组A的秩大于r）,而ai1,ai2,...air 线性无关,故ai可以用ai2,...air,ai 线性表示 因此,ai1,ai2,...air是A的一个最大线性无关组.从而,A中任意r个线性无关向量组都是A的一个最大线性无关组.
题目没说清楚
简单啦！根据定义就能得到结果。首先，ai1,ai2,...air 线性无关，也就是说
c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air=0 的解为 c1=c2=c3=……=cr=0 。ai1,ai2,...air ，B 线性相关 ，那么由定义可知 对于 c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air+cB*B = 0 存在非零解。这里必然有 cB≠0 （假设它等于0，式子化为c1*ai1...
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简单啦！根据定义就能得到结果。首先，ai1,ai2,...air 线性无关，也就是说
c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air=0 的解为 c1=c2=c3=……=cr=0 。ai1,ai2,...air ，B 线性相关 ，那么由定义可知 对于 c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air+cB*B = 0 存在非零解。这里必然有 cB≠0 （假设它等于0，式子化为c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air=0只有0解，于是c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air+cB*B = 0 只有0解，与题设矛盾！），于是B=-1/cB（c1*ai1+c2*ai2+...+cr*air）就是这么简单啦！
收起
因为ai1,ai2,...air ，B ,这个组向量r+1个向量，是相关的
所以必存在不全为0的k1,k2...kr+1
使得k1ai1+k2ai2+.....+krair+kr+1B=0
又因为ai1,ai2,...air 线性无关，所以kr+1必不为0，否则上面那个式子就不成立了
所以B=-（k1ai1+k2ai2+.....+krair）/kr+1
证毕