(概念基础题) 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 22:12:21
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(概念基础题) 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0
(概念基础题) 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0

(概念基础题) 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0
以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵
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反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|=0.
A*=A',则AA'=AA*=|A|E,E是单位矩阵.所以AA'=0.
设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j=1,2,...,n(k=1,2,...,n).
所以akj=0(j,k=1,2,...,n)..
所以A=0,与A≠0矛盾.
所以,A可逆.

因为可以矩阵A-1=A*/|A|
|A|为分母,所以不能为0,即|A|≠0那么充分条件怎么证明?反证法若|A|=0 ,逆矩阵与矩阵的乘积为单位矩阵,好像错了。 首先楼主根据分母不为零来判断|A|≠0,本来就是错的。 应该是|A|≠0以后,才能作为分母,因果倒置,这个我之前也不想指出,后面又出现一些问题,不指出不行了... 算了,还是自己想想吧......

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因为可以矩阵A-1=A*/|A|
|A|为分母,所以不能为0,即|A|≠0

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