等价无穷小代换规则（求极限时）书上说当为乘积时可用等价无穷小代换求极限,那当加减时,在啥情况下也可代换

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/07 13:38:08

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等价无穷小代换规则（求极限时）
书上说当为乘积时可用等价无穷小代换求极限,那当加减时,在啥情况下也可代换

等价无穷小代换规则（求极限时）书上说当为乘积时可用等价无穷小代换求极限,那当加减时,在啥情况下也可代换
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x） tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减吧已知的部分都抵消掉了
剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）可能是x^2的等价无穷小这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小这时极限为常数如果是x^4的等价无穷小那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x）就是0了
还有比较特殊的情况比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x 因为o（x）是x的高阶无穷小所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候代换时加上高阶无穷小余项

不能代换

如tan5x-sinx等价于5x-x=4x,但若是tanx-sinx,则不等价于x-x=0,而需因式分解化成乘积式再等价替换。

当减数与被减数的等价无穷小不相等时，可用等价替换，相等时则不能用。
如tan5x-sinx等价于5x-x=4x,但若是tanx-sinx,则不等价于x-x=0,而需因式分解化成乘积式再等价替换。

当所加减的两个极限分别存在时就可以代换

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