(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 03:53:35
(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
令a=1/2+1/3+...+1/2007
则(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)-（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）
=(a+1/2008)(1+a)-(1+a+1/2008)*a
=a(a+1)+(a+1)/2008-a(a+1)-a/2008
=(a+1)/2008-a/2008
=(a+1-a)/2008
=1/2008>0
所以(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)>（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）
(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)>（1+1/2+1/3+...+1/2008）>（1/2+1/3+...+1/2007）
》
前者大。拆项抵消可得
比较(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
只要判断(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)-（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）值的正负即可。
用整体思想：...
全部展开
比较(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)与（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）的大小
只要判断(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)-（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）值的正负即可。
用整体思想：
令A=1/2+1/3+...+1/2008
原式
=A(A+1-1/2008)-(A+1)(A-1/2008)
=A^2+A-A/2005-(A^2-A/2005+A-1/2005)
=1/2008＞0为正值
(1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)比1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）大
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设（1/2+1/3+...+1/2007）为X，1／2008为Y
则题目可以简化为比较（X＋Y）（1＋X）与
（1＋X＋Y）X的大小．作差得：
（X＋Y）（1＋X）－（1＋X＋Y）X
＝X＋X＾2＋Y＋XY－X－X＾2－XY
＝Y＝1／2008＞0
∴（1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)＞（1+1/2+...
全部展开
设（1/2+1/3+...+1/2007）为X，1／2008为Y
则题目可以简化为比较（X＋Y）（1＋X）与
（1＋X＋Y）X的大小．作差得：
（X＋Y）（1＋X）－（1＋X＋Y）X
＝X＋X＾2＋Y＋XY－X－X＾2－XY
＝Y＝1／2008＞0
∴（1/2+1/3+...+1/2008)(1+1/2+1/3+...1/2007)＞（1+1/2+1/3+...+1/2008）（1/2+1/3+...+1/2007）
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