求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/23 14:57:09

求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;这里完全可以不用拉格朗日乘数法,化成一元函数求极值,条件

求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;
求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;

求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;
这里完全可以不用拉格朗日乘数法,化成一元函数求极值,
条件转成y=1-x,
z=x(1-x)=x-x^2,
z=-(x^2-x+1/4)+1/4=-（x-1/2)+1/4,
x=1/2时有极大值,y=1-1/2=1/2.
z(max)=(1/2)*(1/2)=1/4.
用拉格朗日乘数法：
∂z/∂x=y,
∂z/∂y=x,
设∂φ=x+y-1=0,
∂φ/∂x=1,
∂φ/∂y=1,
∂z/∂x+λ∂φ/∂x=0,
y+λ*1=0,
y+λ=0,
∂z/∂y+λ∂φ/∂y=0,
x+λ=0,
消去λ,
得：x=y,
x+x=1,
x=1/2,y=1/2,
∴z(max)=xy=(1/2)*(1/2)=1/4.

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