求不定积分：1、∫ dx/x^4(2x^2-1) 下面都是分母 2、∫x^4/(x+1)^100 dx
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:09:14
求不定积分：1、∫ dx/x^4(2x^2-1) 下面都是分母 2、∫x^4/(x+1)^100 dx
求不定积分：1、∫ dx/x^4(2x^2-1) 下面都是分母 2、∫x^4/(x+1)^100 dx
求不定积分：1、∫ dx/x^4(2x^2-1) 下面都是分母 2、∫x^4/(x+1)^100 dx
第一题：
原式＝－∫［1/x^2（2x^2－1）］d（1/x）.
令1/x＝u,则x＝1/u.
∴原式＝－∫｛1/（1/u）^2［2（1/u）^2－1］｝du
＝－∫［u^4/（2－u^2）］du
＝∫［（u^4－4＋4）/（u^2－2）］du
＝∫［（u^2＋2）（u^2－2）/（u^2－2）］du＋4∫［1/（u^2－2）］du
＝∫（u^2＋2）du＋4∫［1/（u＋√2）（u－√2）］du
＝∫u^2du＋2∫du＋√2∫［（u＋√2－u＋√2）/（u＋√2）（u－√2）］du
＝（1/3）u^3＋2u＋√2∫［1/（u－√2）］du－√2∫［1/（u＋√2）］du
＝（1/3）（1/x）^3＋2/x＋√2ln｜u－√2｜－√2ln｜u＋√2｜＋C
＝（1/3）/x^3＋2/x＋√2ln｜1/x－√2｜－√2ln｜1/x＋√2｜＋C
＝（1/3）/x^3＋2/x＋√2ln｜1－√2x｜－√2ln｜1＋√2x｜＋C
第二题：
令x＋1＝u,得：x＝u－1,dx＝du.
∴原式＝∫［（u－1）^4/u^100］du
＝∫［（u^2－2u＋1）^2/u^100］du
＝∫［（u^4＋4u^2＋1－4u^3－4u＋2u^2）/u^100］du
＝∫（1/u^96）du＋6∫（1/u^98）du＋∫（1/u^100）du－4∫（1/u^97）du－4∫（1/u^99）du
＝－（1/95）/u^95－（6/97）/u^97－（1/99）/u^99＋（4/96）/u^96＋（4/98）/u^98＋C
＝－1/［95（x＋1）^95］＋1/［24（x＋1）^96］－6/［97（x＋1）^97］
＋2/［49（x＋1）^98］－1/［99（x＋1）^99］＋C
1.
1/x^4(2x^2-1) = 4/(2xx-1) - 2/xx-1/xxxx = 2/(√2x-1)-2/(√2x+1)- 2/xx-1/xxxx
2.
∫x^4/(x+1)^100 dx
=∫x^4*(-1/99)*d(1/(x+1)^99)
=-x^4/(99(x+1)^99) +4/99 ∫x^3/(x+1)^99dx
……继续分步积分