若a+b+c=1,则a2+b2+c2最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:06:32
若a+b+c=1,则a2+b2+c2最小值
若a+b+c=1,则a2+b2+c2最小值
若a+b+c=1,则a2+b2+c2最小值
设：a²＋b²＋c²=M
(a＋b＋c)²=a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca) ====>>> ab＋bc＋ca=[1－(a²＋b²＋c²)]/2
又：a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca ===>>> M≥[1－M]/2 ====>>> M≥1/3
即：a²＋b²＋c²的最小值是1/3
不知道你学过这个 不等式 公式没？
(a2+b2)(c2+d2)>=(ad+bc)2 (2表示平方)
（a2+b2+c2）（1 2 + 1 2+ 1 2）>=(a*1+b*1+c*1)(a*1+b*1+c*1)(a*1+b*1+c*1)
(a*1+b*1+c*1)(a*1+b*1+c*1)(a*1+b*1+c*1) 即(a+b+c)的三次方 即1
（1 2 + 1 2+ 1 2）=3
则a2+b2+c2最小值1/3
解:
[1]
∵a+b+c=1.
∴两边平方可得:
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1.
∴2ab+2bc+2ca=1-(a²+b²+c²)
[2]
由基本不等式可得:
a²+b²≧2ab
b²+c²≧2bc
...
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解:
[1]
∵a+b+c=1.
∴两边平方可得:
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1.
∴2ab+2bc+2ca=1-(a²+b²+c²)
[2]
由基本不等式可得:
a²+b²≧2ab
b²+c²≧2bc
c²+a²≧2ca.
三式相加,整理可得:2(a²+b²+c²)≧2ab+2bc+2ca.
等号仅当a=b=c=1/3时取得.
∴结合上面可得:
2(a²+b²+c²)≧1-(a²+b²+c²)
∴a²+b²+c²≧1/3.
等号仅当a=b=c=1/3时取得,
∴(a²+b²+c²)min=1/3.
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