如果a、b、c为 x^3-4x^2-23x+32=0 的三个根,那么 (a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2等于几?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 20:30:59
如果a、b、c为 x^3-4x^2-23x+32=0 的三个根,那么 (a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2等于几?
如果a、b、c为 x^3-4x^2-23x+32=0 的三个根,那么 (a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2等于几?
如果a、b、c为 x^3-4x^2-23x+32=0 的三个根,那么 (a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2等于几?
思路:
拿到本题后,要求(a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2,很显然需要考虑到平移,原函数f(x)=x^3-4x^2-23x+32向左平移3个单位后,得到的新的关于x的方程g(x)=(x+3)^3-4(x+3)^2-23(x+3)+32=0的三个根即为a-3,b-3,c-3.
然后考虑新方程.肯定要用韦达定理(即一元线性齐次方程根与系数的关系).需要联想到关系:u^2+v^2+w^2=(u+v+w)^2-2(uv+vw+uw).想到这里,基本上就大功告成了.
a、b、c为 x^3-4x^2-23x+32=0 的三个根,故
a-3、b-3、c-3必为关于x的方程(x+3)^3-4(x+3)^2-23(x+3)+32=0 的三个根,也即为方程x^3+5x^2-20x+23=0 的三个根(展开合并同类项即得).
根据伟大定理,必有
(a-3)+(b-3)+(c-3)=-5/1=-5
(a-3)(b-3)+(b-3)(c-3)+(a-3)(c-3)=-20/1=-20
故(a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2
=[(a-3)+(b-3)+(c-3)]^2-2[(a-3)(b-3)+(b-3)(c-3)+(a-3)(c-3)]
=(-5)^2-2×(-20)=65