数学难题求解,牛人来已知正整数a,b,其中2a>b,且b不是完全平方数.2an+n^2+b是完全平方数.如何求正整数n?各位误解我题目的意思了，我当然知道满足条件的a,b,n值有无限多，也知道对应任一组a 、
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 19:06:58
数学难题求解,牛人来已知正整数a,b,其中2a>b,且b不是完全平方数.2an+n^2+b是完全平方数.如何求正整数n?各位误解我题目的意思了，我当然知道满足条件的a,b,n值有无限多，也知道对应任一组a 、
数学难题求解,牛人来
已知正整数a,b,其中2a>b,且b不是完全平方数.
2an+n^2+b是完全平方数.
如何求正整数n?
各位误解我题目的意思了，我当然知道满足条件的a,b,n值有无限多，也知道对应任一组a 、b 值，都有有限个n值满足条件。我的意思是，a,b 都是已知数，而n是未知数。我是想问，如何从给定的a 和b,利用某种方法或某个式子来推导出满足条件的n的值。打个很简单的比如，假如a=17,b=13,你能马上告诉我满足条件的n有多少个、n值分别是多少吗？
数学难题求解,牛人来已知正整数a,b,其中2a>b,且b不是完全平方数.2an+n^2+b是完全平方数.如何求正整数n?各位误解我题目的意思了，我当然知道满足条件的a,b,n值有无限多，也知道对应任一组a 、
楼主可以这样做：
首先,2an+n^2+b = (n+a)^2 - (a^2 - b)
如果他是完全平方数,不妨设其为m^2.
即(n+a)^2 - (a^2 - b) = m^2
那么移项合并有
(n+a+m) * (n+a-m) = a^2 - b
假设A = a^2 - b,需要把A做成p*q的形式,其中p>q且p和q需要具有相同的奇偶性.
这样就有：
p = n+a+m
q = n+a-m
所以
m = (p-q)/2
n = (p+q)/2 - a
也就是说,如果给出已知的a和b的话,先求出a^2-b,然后做因式分解,取出两个因子奇偶性相同的这些取值.
比如a=17,b=13的话,a^2-b=17*17-13 = 276
276拆分成相同奇偶性的两个整数相乘可以是：
2*138或者6*46,其他类似4*69和12*23都舍去.
把(2,138)和(6,46)代入求m,n,
得到m=68,n=53,或者m=20,n=9.
也就是说,当a=17,b=13时,可能的n有两个,分别是9或者53.
此时2an+n^2+b的值分别是20的平方或者68的平方.
特别的,如果b=a^2的话,n的取值就真的可以有无数多了.