p是大于等于5的质数,且2p-1也是质数,证明：4p+5为合数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:45:20
p是大于等于5的质数,且2p-1也是质数,证明：4p+5为合数
p是大于等于5的质数,且2p-1也是质数,证明：4p+5为合数
p是大于等于5的质数,且2p-1也是质数,证明：4p+5为合数
证明：由题得p=3n±1
2p-1=6n+1或6n-3=3（n-2)
∴p=3n+1
4p+5=12n+4+5=12n+9=3(4n+3)为合数
【分析】从简单情形入手：
若p=5，则2p-1=9不是质数
若p=7，则2p-1=13是质数，此时4p+5=33是合数
若p=11，则2p-1=21不是质数
若p=13，则2p-1=25不是质数
若p=17，则2p-1=33不是质数
若p=19，则2p-1=37是质数，此时4p+5=75是合数
……
综合考虑前面出现的规律，发现4p+...
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【分析】从简单情形入手：
若p=5，则2p-1=9不是质数
若p=7，则2p-1=13是质数，此时4p+5=33是合数
若p=11，则2p-1=21不是质数
若p=13，则2p-1=25不是质数
若p=17，则2p-1=33不是质数
若p=19，则2p-1=37是质数，此时4p+5=75是合数
……
综合考虑前面出现的规律，发现4p+5还都是3的倍数
所以我们从被3除的余数入手分析。
【证明】p是大于等于5的质数，所以p被3除的余数只能为1或2
①余数是1，则2p-1被3除的余数也是1，可能成为质数，
此时4p+5=3（p+2）+（p-1）能够被3整除，所以是合数；
②余数是2，则2p-1被3除的余数是0，所以2p-1能被3整除，不可能可能成为质数
不符合要求
所以仅①才可能满足题目的条件，于是4p+5是合数
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