M、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PM、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PA+ PC=√2pd
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 09:20:46
M、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PM、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PA+ PC=√2pd
M、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证P
M、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PA+ PC=√2pd
M、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PM、N分别为正方形ABCD边CB、DC延长线上的点, DP⊥AN交AM于P且DN-BM=MN.求证PA+ PC=√2pd
在DC上取一点E,使NE=NM,则由DN-BM=MN知DE=BM.
由于四边形ABCD是正方形,那么三角形ADE和三角形ABM都是直角三角形,且AD=AB
由SAS知三角形ADE和三角形ABM全等,所以,AE=AM,∠DAE=∠BAM.
在三角形AEN和三角形AMN中,因AE=AM,AN=AN,NE=NM,
由SSS知三角形AEN和三角形AMN全等,所以,∠NAE=∠NAM.
则∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90°,且AN平分∠EAM
所以,∠MAN=45°
延长PC到F,使CF=AP,连接DF,BD.
∠MAN=45°,
因AN与DP垂直,所以,∠APD=90°-45°=45°,
又在正方形ABCD中易知∠ABD=45°,
即∠APD=∠ABD
因此,A、P、B、D四点共圆.
又因正方形ABCD四顶点也共圆,因此有A、P、B、C、D五点共圆.
所以,∠DAP=∠DCF.
又因正方形ABCD中DA=DC以及所作的AP=CF,
由三角形全等判别定理SAS可知
三角形DAP与三角形DCF全等.
则DP=DF,且∠ADP=∠CDF.
则∠PDF=∠FDC+∠CDP=∠CDP+∠ADP=∠CDA=90°.
所以,三角形DPF是等腰直角三角形,
因等腰直角三角形的斜边长是直角边长的√2倍,即有PF=(√2)PD
所以,PA+PC=CF+PC=PF=(√2)PD.