已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:09:10
已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性求详解
已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性
求详解
已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性求详解
令a=1,b=1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),
f(1)=2f(1),f(1)=0
再b=0,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(0)=af(0),f(0)=0
再a=-1,b=-1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(-1)=0
再a=-1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(-b)=-f(b),是奇函数
1. 令a=b=1，由f（ab）=af（b）+bf（a）知f(1×1)=1×f(1)＋1×f(1),得f（1）=2f（1），所以f（1）=0，再令a=0，b=1，f(0)=f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0,所以f(0)=0
f(0)=f(-1×0)=-1×f(0)+0×f(-1)=0,得f(-1)=0
2.令a=-1，b=x，得f(-x)=f(-1×x)=-1×f(x)...
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1. 令a=b=1，由f（ab）=af（b）+bf（a）知f(1×1)=1×f(1)＋1×f(1),得f（1）=2f（1），所以f（1）=0，再令a=0，b=1，f(0)=f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0,所以f(0)=0
f(0)=f(-1×0)=-1×f(0)+0×f(-1)=0,得f(-1)=0
2.令a=-1，b=x，得f(-x)=f(-1×x)=-1×f(x)+xf(-1),代入f(-1)=0，得f(-x)=-f(x),可知f(x)是个奇函数
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