已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中a

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:33:47
已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中a已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)

已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中a
已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中a少存在一点r,使f"(r)<0

已知f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内存在二阶导数.且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中a
用两次Lagrange中值定理.
(1)对函数f(x)在闭区间[a,c]上应用中值定理,存在p(a0;
对函数f(x)在闭区间[c,b]上应用中值定理,存在q(c(2)对函数f'(x)在闭区间[p,q]上应用中值定理,存在r(p

假设在(a,b)内 不存在一点r,使f"(r)<0,即恒有 f''(x)>=0,在(a,b)内存在二阶导数
从而 f'(x)在(a,b)为增函数,在端点a,b连续, 所以(f(c)-f(a))/(c-a)>0,f(c)-f(b)/(c-b)<0
由中值定理 存在 a0, 所以 f'(x1)>0
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假设在(a,b)内 不存在一点r,使f"(r)<0,即恒有 f''(x)>=0,在(a,b)内存在二阶导数
从而 f'(x)在(a,b)为增函数,在端点a,b连续, 所以(f(c)-f(a))/(c-a)>0,f(c)-f(b)/(c-b)<0
由中值定理 存在 a0, 所以 f'(x1)>0
存在 c0, 又 c-b<0, 所以f'(x2)<0
所以 x1f'(x2) 这与f'(x)在(a,b)为增函数矛盾,
所以假设错误,从而原结论正确

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