数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3请详细说明第二小问
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 04:22:01
数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3请详细说明第二小问
数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想
（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3
请详细说明第二小问
数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3请详细说明第二小问
1.
a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8
a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³
猜想：an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
证：
n=1时,a1=(2-1)/1=1表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=(2^k -1)/2^(k-1),则当n=k+1时,
Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]
表达式同样成立,k为任意正整数,因此对于任意正整数n,表达式恒成立.
数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
2.
bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1
n≥1 2ⁿ-1≥1>0,数列{bn}各项均为正.
1/bn=1/(2ⁿ-1)
1/b1=1/(2-1)=1
(1)a1=1,
a2=3/2,
a3=7/4,
a4=15/8
猜想：an=(2^n)-1/2^(n-1)
证明
(1)当n=1时
S1=a1=2*1-a1，解的a1=1, a1=2^1-1/2^(1-1)=1
1=1,所以当n=1时，等式成立
（2...
全部展开
(1)a1=1,
a2=3/2,
a3=7/4,
a4=15/8
猜想：an=(2^n)-1/2^(n-1)
证明
(1)当n=1时
S1=a1=2*1-a1，解的a1=1, a1=2^1-1/2^(1-1)=1
1=1,所以当n=1时，等式成立
（2）假设当n=k时
ak=2k-Sk=(2^k)-1/2^(k-1)，等式成立
当n=k+1时
ak+1=2*(k+1)-Sk+1
ak=2k-Sk
上式减下式得ak+1=1/2*(2+ak)
把ak=(2^k)-1/2^(k-1)带入得到
ak+1=(2^k+1)-1/2^k，k∈正整数
综合（1）（2）可得，证得an=(2^n)-1/2^(n-1)，n∈正整数
3）用极限来证明吧！高中的问题好难！
∑1/(2^n-1)= ∑1/2^n*1/(1-1/2^n)<1+∑1/2^(n+1)*4/3<5/3
收起
（1）Sn=2n-an
Sn-1=2(n-1)-a(n-1)
用Sn-Sn-1得an=2-a
a1=1,a2=0,a3=-1,a4=-2
(2) bn=2^n-1×an=2^n-1×(2-a)=2^n-2^n-1×a