三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状

三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状
三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状

三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状
sin^2(A+B)=sinA^2+sinB^2,
sin^2C=sin^2A+sin^2B
a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
sinA=a/k sinB=b/k sinC=c/k
c^2/k^2=a^2/k^2+b^2/k^2
c^2=a^2+b^2
三角形ABC为直角三角形

sinA^2是(sinA)的平方还是sin(A的平方)呢..? 如果是前者 那么是直角三角形 sinA^2+sinB^2=1 sin(A+B)=sinA^2+sinB^2=1 因为A,B为锐角 sin90=1 所以A+B=90

sin(A+B) 这边有平方嘛?
如果有，用正弦定理可得RT三角形

因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0. (*)
又因为...

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因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0. (*)
又因为 A,B 为锐角,
所以 sin A>0, sin B>0.
(1) 若 A+B =π/2,
则 cos B =cos (π/2 -A) = sin A,
cos A =cos (π/2 -B) = sin B.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.
满足条件(*).
此时, C =π -(A+B) =π/2.
即 ΔABC 为直角三角形.
(2) 若 A+B >π/2,
则 A >π/2 -B,
B >π/2 -A.
又因为 A, B, π/2-A, π/2-B是锐角,
所以 sin A >sin (π/2 -B) =cos B,
sin B >sin (π/2 -A) =cos A.
所以 sin A -cos B >0,
sin B -cos A >0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) >0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
(3) 若 A+B <π/2,
则 A <π/2 -B,
B <π/2 -A.
所以 sin A sin B 所以 sin A -cos B <0,
sin B -cos A <0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) <0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
综上, ΔABC 为直角三角形.
= = = = = = = = =
这题利用一个结论：
设 A,B 为锐角.
(1) 若 sin A >cos B , 则 sin B >cos A.
(2) 若 sin A (3) 若 sin A =cos B, 则 sin B =cos A.
即 sin A -cos B 与 sin B -cos A 同号.

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