已知正数x、y满足xy-x-y=1,求x+y的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 08:35:22
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已知正数x、y满足xy-x-y=1,求x+y的最小值
已知正数x、y满足xy-x-y=1,求x+y的最小值

已知正数x、y满足xy-x-y=1,求x+y的最小值
解法一
用函数的思想
xy-x-y=1
得y=（x+1）/(x-1)
x+y=x+(x+1）/(x-1)=(x-1)+2/(x-1)+2
因为x,y＞0最小值取到时（x-1）=2/(x-1)
既x=（√2）-1 x+y=2√2+2
解法二
xy+1=x+y≥2√xy
(√xy-1-√2)(√xy-1+√2)≥0
因为)√xy-1+√2大于0
所以√xy-1-√2≥0既x+y≥2√xy≥2√2+2

解:∵xy-x-y=1,∴x(y-1)-y+1=1+1∴(y-1)(x-1)=2.
先证明:x＞1,如果:0＜x≤1,则1-x≥0且1-y与1-x同号则0≤1-x＜1
∴0≤(1-y)＜1∴0≤(1-y)(1-x)＜1
又∵(1-x)(1-y)=2矛盾,∴x＞1,∴y＞1
∴x＞1且y＞1
∵x+y=2+(x-1)+(y-1)≥2+2√(x-1)(...

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解:∵xy-x-y=1,∴x(y-1)-y+1=1+1∴(y-1)(x-1)=2.
先证明:x＞1,如果:0＜x≤1,则1-x≥0且1-y与1-x同号则0≤1-x＜1
∴0≤(1-y)＜1∴0≤(1-y)(1-x)＜1
又∵(1-x)(1-y)=2矛盾,∴x＞1,∴y＞1
∴x＞1且y＞1
∵x+y=2+(x-1)+(y-1)≥2+2√(x-1)(y-1)=2+2√2
∴x+y的最小值是2+2√2.
(y-1)(x-1)=2.当x-1=y-1=√2时,即x=y=√2+1,所以x+y的最小值是2+2√2.

收起

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