数学函数极限和连续题1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn .
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:13:32
数学函数极限和连续题1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn .
数学函数极限和连续题
1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续
2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn .
第二题中n+1和n为下脚标
第一题解得莫名其妙。
数学函数极限和连续题1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn .
1、首先,令x1=x2=0,得到f(0)=f(0)^2；因为f(0)不为零,因此f(0)=1;
,由连续的极限定义,即lim(△x→0)△y=0证明：
设x为R上任意一点,在x处有增量△x；于是
lim(△x→0)△y=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]
=lim(△x→0)[f(x)f(△x)-f(x)]=lim(△x→0)[f(x)(f(△x)-1)]=0
即lim(△x→0)△y=0,所以f在x处连续,又因为x的任意性,f处处连续.
2很明显xn>0;又Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)>=1/2*2√a=√a；
即Xn>=√a;
于是Xn+1/Xn=1/2(1+a/Xn^2)=√a)
即Xn+1
第一题
令x1=x2=0 有 f(0)=f(0)f(0)
由于f(0)≠0，所以f(0)=1
那么有f(x+Δx)=f(x)f(Δx)
两边 令Δx→0，再由f(x)在0点的连续性有
lim f(x+Δx)= lim f(x)f(Δx) =f(x)limf(Δx)
=f(x)f(0)=f(x)
即
lim f(x+Δx)= f(x)<...
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第一题
令x1=x2=0 有 f(0)=f(0)f(0)
由于f(0)≠0，所以f(0)=1
那么有f(x+Δx)=f(x)f(Δx)
两边 令Δx→0，再由f(x)在0点的连续性有
lim f(x+Δx)= lim f(x)f(Δx) =f(x)limf(Δx)
=f(x)f(0)=f(x)
即
lim f(x+Δx)= f(x)
这就是说f(x)连续。
第二题
首先，可以看出，对所有的n xn>0的(可由归纳法证明，在考试时，可以写显然 )
所以 Xn+1 = 1/2（Xn + a/Xn) >= 根号a （均值不等式）
这说明 xn是有下界的。
而Xn+1-Xn =1/2（a/Xn - Xn)
考查函数 g(x)=a/x -x 是减函数
所以Xn+1-Xn =1/2（a/Xn - Xn)<0 (这里是代入了根号a)
所以数列从n>=2时，是单减有下界的。
那么必然收敛。设 Xn→x
对 Xn+1=1/2（Xn + a/Xn) 两边令n→+∞
得到 x = 1/2（x + a/x)
解得 x=根号a (负的舍了)
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