f(x)=lg(ax²-2x+a)的值域为R,求a的范围

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/27 13:24:54

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f(x)=lg(ax²-2x+a)的值域为R,求a的范围
f(x)=lg(ax²-2x+a)的值域为R,求a的范围

f(x)=lg(ax²-2x+a)的值域为R,求a的范围
设g(x)=ax²-2x+a
f(x)的值域为R,即g(x)的值域要为(0,+∞)
当a=0时,g(x)=-2x,定义域为(-∞,0)时,g(x)的值域为(0,+∞)
符合题意
当a≠0时,g(x)是条抛物线,开口向上且与x轴至少有个交点,则有
a>0且△=4-4a²≥0
解得0所以实数a的取值范围为[0,1]

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不妨设（ax²-2x+a)为M,即f(x)=lgM的值域为R.
那么M的取值范围是多少？显然是(0,+ 无穷）.
所以我们就要让（ax²-2x+a)可以从0取到+无穷。
显然，当a<0时，（ax²-2x+a)不可能取到+无穷，
所以只考虑a>0或=0的情况就行了。（此时ax²-2x+a可取到+无穷）
当a>0时，有（ax²-2x+a)>0。
求其判别式，令其>0或=0.(这么做是为了确保ax²-2x+a有值<0或=0,故ax²-2x+a的值域包括所有>0的数，从而确保f(x)的值域为R.
由上式可解得 0小于a小于等于1.
a=0时，f(x)=-2x,可取得0到+无穷，符合题意。
综上所述，有 0小于等于a小于等于1。

收起

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