使关于x的不等式(1+sinx)/(2+cosx)>=k有实数解的实数k的最大值是怎么做
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:31:25
使关于x的不等式(1+sinx)/(2+cosx)>=k有实数解的实数k的最大值是怎么做
使关于x的不等式(1+sinx)/(2+cosx)>=k有实数解的实数k的最大值是
怎么做
使关于x的不等式(1+sinx)/(2+cosx)>=k有实数解的实数k的最大值是怎么做
思路分析：
实数k的最大值实际上也就是(1+sinx)/(2+cosx)所能取到的最小值,可以考虑采用几何法,设(1+sinx)/(2+cosx)为m,则m经过点（-1,-2）和点（sinx,cosx）直线的斜率,即经过点（-1,-2）和单位圆上一点的直线的斜率,设直线方程为y+2=m(x+1),画图可知当直线与圆相切时（在下面）,斜率最小,所以用点到直线的距离公式可得|m-2|/（（根号下）（m^2+1）)=1,解得m=0（舍去）或m=3/4,所以k的最大值为3/4.
k=4/3
由题意:设y=(1+sinx)/(2+cosx)则
2y+ycosx=1+sinx 即: 2y-1=sinx-ycosx
所以 2y-1=(根号下1+y^2)sin(x-z)
(其中: z=arctany)
所以 sin(x-z)=(2...
全部展开
k=4/3
由题意:设y=(1+sinx)/(2+cosx)则
2y+ycosx=1+sinx 即: 2y-1=sinx-ycosx
所以 2y-1=(根号下1+y^2)sin(x-z)
(其中: z=arctany)
所以 sin(x-z)=(2y-1)/(根号下1+y^2)
因为: (绝对值sin(x-z))<=1 即:
[绝对值(2y-1)/(根号下1+y^2)]<=1
两边平方,解得: 0<=y<=4/3
又 (1+sinx)/(2+cosx)>=k 即 k<=(1+sinx)/(2+cosx)
所以 k最大为 4/3
收起
设f(x)=(1+sinx)/(2+cosx)
即求f(x)的最小值
sinx=[2tan(x/2)]/[1+tan^2(x/2)]
cosx=[1-tan^2(x/2)]/[1+tan^2(x/2)]
令tan(x/2)=t,t∈R
整理得f(t)=(t+1)^2/(t^2+3)>=0，当t=-1时取等号
所以f(t)的最小值为0
K的最大值为0