求线性代数线性相关性的一个定理证明定理:若向量组a1,a2,……,as可由向量组b1,b2,……,bt线性表出,且s>t,则a1,a2,……,as线性相关.这个定理是如何证明的呢

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 13:03:32
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求线性代数线性相关性的一个定理证明
定理:若向量组a1,a2,……,as可由向量组b1,b2,……,bt线性表出,且s>t,则a1,a2,……,as线性相关.
这个定理是如何证明的呢

求线性代数线性相关性的一个定理证明定理:若向量组a1,a2,……,as可由向量组b1,b2,……,bt线性表出,且s>t,则a1,a2,……,as线性相关.这个定理是如何证明的呢
假设向量都是n维的,即每个向量有n个分量
向量组a1,a2,……,as可由向量组b1,b2,……,bt线性表出
则有关系:
A=BK
其中A=[a1 a2 … as]是n行s列的矩阵,B=[b1 b2 … bt]是n行t列矩阵
K为表示系数矩阵,是t行s列的,
K的第i列就是A的第i列被b1,b2,…,bt线性表出时的t个表示系数,
即ai=k1i×b1 + k2i×b2 + k3i×b3 + ...+ kti×bt
考虑线性方程组Kx=0,其中x=(x1,x2,...,xs)的转置
因为秩(K)