如图,在三角形ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆O与AC交于点D,过D作DF垂直于BC,交AB的延长线于E,垂足为F.（1） 求证：直线DE是圆O的切线（2） 当AB=5,AC=8时,求cosE的值图
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:20:51
如图,在三角形ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆O与AC交于点D,过D作DF垂直于BC,交AB的延长线于E,垂足为F.（1） 求证：直线DE是圆O的切线（2） 当AB=5,AC=8时,求cosE的值图
如图,在三角形ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆O与AC交于点D,过D作DF垂直于BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
（1） 求证：直线DE是圆O的切线
（2） 当AB=5,AC=8时,求cosE的值
图
如图,在三角形ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆O与AC交于点D,过D作DF垂直于BC,交AB的延长线于E,垂足为F.（1） 求证：直线DE是圆O的切线（2） 当AB=5,AC=8时,求cosE的值图
(1)连OD.因为OD是圆的半径,所以要证直线DE是圆O的切线,只需证OD垂直DE.
因为AB是圆的直径,直径所对圆周角为直角,所以角ADB=90度.又AB=BC,
BD=BD,所以三角形ABD全等于三角形CBD,因此AD=CD,D为AC中点,OD为三角形ABC
BC边上的中位线,所以OD平行BC.因为DE垂直BC,BC平行OD,所以DE垂直OD,直线DE是圆的切线.
(2)因为DE是圆O的切线,所以三角形ODE是直角三角形,cosE=sinDOE.过D作AB垂线,垂足为G.则sinDOE=DG/OD,DG是直角三角形ADB斜边上的高,由AB=5,
AD=1/2AC=4 知BD=3,DG=12/5,所以sinDOE=DG/OD=(12/5)/(5/2)=24/25
（1）
取AB中点，令为O，连接OD
∵圆O与AC交于D
∴OD=OA
且△OAD与△ABC共有∠A
∴△OAD相似于△ABC
∴∠AOD=∠B
∴OD‖BC
又∵DF⊥BC，ED为DF的延长线
∴DE⊥OD
∵OD为圆O的半径
∴DE是圆O的切线
连接OD,BD ∵∠A=∠C(原题给定) ∴∠A=∠ADO
∴∠C=∠ADO ∵△BCD∽△BDF ∴∠BDF=∠C
∵∠ADO+∠BDO=90 ∴∠BDF+∠BDO=90º DE切于圆证毕。
关于E的余弦，不知你们学过倍角公式没有？因为E的余弦就是∠BOD的正弦，
∠BOD=2∠A 给定边长后∠A的余弦好求。...
全部展开
连接OD,BD ∵∠A=∠C(原题给定) ∴∠A=∠ADO
∴∠C=∠ADO ∵△BCD∽△BDF ∴∠BDF=∠C
∵∠ADO+∠BDO=90 ∴∠BDF+∠BDO=90º DE切于圆证毕。
关于E的余弦，不知你们学过倍角公式没有？因为E的余弦就是∠BOD的正弦，
∠BOD=2∠A 给定边长后∠A的余弦好求。
收起