现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球

现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球

现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
把12个球分别编上号,并随意分成3组.不失一般性,分别为：
（1、2、3、4）..①；（5、6、7、8）..②；（9、10、11、12）..③.
第一称:把①与②组放在天平两端称.结果有两种情况：一种是平；另一种是不平,不妨假设组①重于组②.
先来看平的情况.则1-8号球全部正常.次品必在组③,即在9-12号球中.
在9-12号球中任选3个,不妨选（9、10、11）...④,存下12号球：在正常球1-8号球中也任选3个,不妨选（1、2、3）...⑤.
对④与⑤进行第二次称.结果有三：④＝⑤；④＞⑤；④＜⑤.
如果④＝⑤时,次品是12号球.第三次用12号球与任意一个正常球称,则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 .
如果④＞⑤时,则次品球必在组④的3个球内,且重于正常球.这时,在9-11号3个球中任选两个（不妨设是9与10号球）,再放到天平上称第三次.这时有三种情况：9＝10；9＞10；9＜10.
当9＝10时,次品必是11号球,它比正常球要重；当9＞10时,则偏重的9号球是次品；当9＜10时,偏重的10号球是次品.
同理可证④＜⑤时的情况.
对于另一种不平的情况改次再证明.继续证明.
当不平时有两种情况,即组①＞组②；组①＜组②.
现在来讨论当组①＞组②的情况.即（1、2、3、4）重于（5、6、7、8）.
将组①与组②中的球进行调整,并重新编组：组①中留下3号球,拿出4号球,并把1、2球改放到组②中去,并添入正常球一个,不妨设为9号球；组②中留下7号球,拿出6、8号球,并把5号球改放到组①中去,编成新组：（5、3、9）…③；（1、2、7）…④.
现在进行第二称,即把组③和组④放在天平上称.结果有三：
③＝④；③＞④；③＜④.
当③＝④时.则次品球必在拿出去的几个球内,即在4、6、8号3个球内,且知4号球至少重于6号、8号球中的一个.这时用6号球与8号球进行第三次称,结果是6号＝8号；6号＞8号；6号＜8号.当6号＝8号时,则4号球是次品球,且它比正常球要重；当6号＞8号时,则次品是8号球,它比正常球要轻；当6号＜8号时,则次品是6号球,它比正常球要轻.
当③＞④时.说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质,这是由组内保持不变的球造成的,则次品球必在3号与7号球之间,且知道3号球一定重于7号球.这时进行第三次称：从3、7号球中任选一与正常球称,不妨选3号球与正常球9号称.结果有：3号＝9号；3号＞9号；3号＜9号.当3号＝9号时,则次品是7号球,它比正常球要轻；当3号＞9号时,则次品是3号球,它比正常球要重；当3号＜9号时,又由3号＞7号,则3号与7号均是次品,这不可能,因为与条件中规定的次品只有一个矛盾.
当③＜④时.这是由交换了组别的球造成的,因此,次品球必在1、2、与5号之间,且5号球至少轻于1、2号球中的一个.这时用1、2号球进行第三次称,.结果有：1号＝2号；1号＞2号；1号＜2号.当1号＝2号时,次品是5号它比正常球要轻；当1号＞2号时,这时次品是1号,它比正常球要重；当1号＜2号时,又5号也小于2号,则次品是2号,它比正常球要重.
同理可证:组①＜组②.

有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。

设标准小球质量为w，并代表任意一个正常小球，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组
==（第一次）...

全部展开

有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。

设标准小球质量为w，并代表任意一个正常小球，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组
==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1 A1=A2 则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 w
B3:a12 w
====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a12,w)为异常组，异常球为a12
1.2 B1 != B2 B3(a12,w) 为正常组,以B1表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +w
========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,得 a9+a10 <2w
所以异常球质量小于正常球，a9 与 a10 轻者即为异常球
2 A1 != A2,则A3(a9,a10,a11,a12)为正常组;以A1得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4重新分组为:
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a6
B3:a7,a8,w
====（第二次）取B3与B2比较
2.1 B3=B2
a4=a5=a6=a7=a8=w 根据 EXP1 得
a1+a2+a3<3w 得异常球质量小于标准球
========（第三次）取a1 a2 进行比较,如果
2.1.1 a1 = a2 则 a3 为异常球
2.1.2 a1 != a2 则 a3 为正常球，a1 与 a2 轻者即为异常球
2.2 B3>B2 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B3相加 3w+2a4 + a5 + a6 < a5 + a6 + 2a7+2a8 + w
2a4 < a7+ a8
========（第三次）取 a7 a8 比较
2.2.1 a7 =a8 a4 为异常球,质量小于标准球
2.2.2 a7!=a8 a4 为正常球,可知 2w < a7+a8,得a7 a8 中重者为异常球
2.3 B2a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B2 a7 + a8 + w
转换: -a4 - a5 - a6 < - a7 - a8 - w
相加 3w - a5 - a6 < a5 + a6 - w
a5 + a6 > 2w
可知 异常球质量大于标准球
========（第三次）取 a5 a6 比较
2.3.1 a5 a6 中重者为异常球
由上述各节可知，a1,a2,...,a12 为异常球的概率均为1/12。

收起

把球分成四份，先称两份，如果天平不稳，就重新拿一份和原来的任意一份称，称出有次品球的一份；如果天平很稳，就从原来的球中任意拿一份和新的一份称，称出有次品球的一份。再把有次品球的一份分成三份，称出次品球。

三楼你要称几次啊?你数过没有哦