现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:45:24
现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球
把12个球分别编上号,并随意分成3组.不失一般性,分别为:
(1、2、3、4)..①;(5、6、7、8)..②;(9、10、11、12)..③.
第一称:把①与②组放在天平两端称.结果有两种情况:一种是平;另一种是不平,不妨假设组①重于组②.
先来看平的情况.则1-8号球全部正常.次品必在组③,即在9-12号球中.
在9-12号球中任选3个,不妨选(9、10、11)...④,存下12号球:在正常球1-8号球中也任选3个,不妨选(1、2、3)...⑤.
对④与⑤进行第二次称.结果有三:④=⑤;④>⑤;④<⑤.
如果④=⑤时,次品是12号球.第三次用12号球与任意一个正常球称,则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 .
如果④>⑤时,则次品球必在组④的3个球内,且重于正常球.这时,在9-11号3个球中任选两个(不妨设是9与10号球),再放到天平上称第三次.这时有三种情况:9=10;9>10;9<10.
当9=10时,次品必是11号球,它比正常球要重;当9>10时,则偏重的9号球是次品;当9<10时,偏重的10号球是次品.
同理可证④<⑤时的情况.
对于另一种不平的情况改次再证明.继续证明.
当不平时有两种情况,即组①>组②;组①<组②.
现在来讨论当组①>组②的情况.即(1、2、3、4)重于(5、6、7、8).
将组①与组②中的球进行调整,并重新编组:组①中留下3号球,拿出4号球,并把1、2球改放到组②中去,并添入正常球一个,不妨设为9号球;组②中留下7号球,拿出6、8号球,并把5号球改放到组①中去,编成新组:(5、3、9)…③;(1、2、7)…④.
现在进行第二称,即把组③和组④放在天平上称.结果有三:
③=④;③>④;③<④.
当③=④时.则次品球必在拿出去的几个球内,即在4、6、8号3个球内,且知4号球至少重于6号、8号球中的一个.这时用6号球与8号球进行第三次称,结果是6号=8号;6号>8号;6号<8号.当6号=8号时,则4号球是次品球,且它比正常球要重;当6号>8号时,则次品是8号球,它比正常球要轻;当6号<8号时,则次品是6号球,它比正常球要轻.
当③>④时.说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质,这是由组内保持不变的球造成的,则次品球必在3号与7号球之间,且知道3号球一定重于7号球.这时进行第三次称:从3、7号球中任选一与正常球称,不妨选3号球与正常球9号称.结果有:3号=9号;3号>9号;3号<9号.当3号=9号时,则次品是7号球,它比正常球要轻;当3号>9号时,则次品是3号球,它比正常球要重;当3号<9号时,又由3号>7号,则3号与7号均是次品,这不可能,因为与条件中规定的次品只有一个矛盾.
当③<④时.这是由交换了组别的球造成的,因此,次品球必在1、2、与5号之间,且5号球至少轻于1、2号球中的一个.这时用1、2号球进行第三次称,.结果有:1号=2号;1号>2号;1号<2号.当1号=2号时,次品是5号它比正常球要轻;当1号>2号时,这时次品是1号,它比正常球要重;当1号<2号时,又5号也小于2号,则次品是2号,它比正常球要重.
同理可证:组①<组②.
有十二个小球特征相同,其中只有一个质量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个质量异常的球找出来。
设标准小球质量为w,并代表任意一个正常小球,将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12,分组为:
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组
==(第一次)...
全部展开
有十二个小球特征相同,其中只有一个质量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个质量异常的球找出来。
设标准小球质量为w,并代表任意一个正常小球,将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12,分组为:
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组
==(第一次)1选定任意2组--取A1,A2进行比较,如果
1 A1=A2 则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 w
B3:a12 w
====(第二次)取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较,如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组,B3(a12,w)为异常组,异常球为a12
1.2 B1 != B2 B3(a12,w) 为正常组,以B1
========(第三次)取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球,根据 EXP0,得 a9+a10 <2w
所以异常球质量小于正常球,a9 与 a10 轻者即为异常球
2 A1 != A2,则A3(a9,a10,a11,a12)为正常组;以A1
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a6
B3:a7,a8,w
====(第二次)取B3与B2比较
2.1 B3=B2
a4=a5=a6=a7=a8=w 根据 EXP1 得
a1+a2+a3<3w 得异常球质量小于标准球
========(第三次)取a1 a2 进行比较,如果
2.1.1 a1 = a2 则 a3 为异常球
2.1.2 a1 != a2 则 a3 为正常球,a1 与 a2 轻者即为异常球
2.2 B3>B2 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B3
2a4 < a7+ a8
========(第三次)取 a7 a8 比较
2.2.1 a7 =a8 a4 为异常球,质量小于标准球
2.2.2 a7!=a8 a4 为正常球,可知 2w < a7+a8,得a7 a8 中重者为异常球
2.3 B2
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B2
转换: -a4 - a5 - a6 < - a7 - a8 - w
相加 3w - a5 - a6 < a5 + a6 - w
a5 + a6 > 2w
可知 异常球质量大于标准球
========(第三次)取 a5 a6 比较
2.3.1 a5 a6 中重者为异常球
由上述各节可知,a1,a2,...,a12 为异常球的概率均为1/12。
收起
把球分成四份,先称两份,如果天平不稳,就重新拿一份和原来的任意一份称,称出有次品球的一份;如果天平很稳,就从原来的球中任意拿一份和新的一份称,称出有次品球的一份。再把有次品球的一份分成三份,称出次品球。
三楼你要称几次啊?你数过没有哦