周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.这个定理的证明过程我不是很明白.麻烦您点拨一下,尤其是换元换限过程,我简直是云里雾里的.希望能给一个傻瓜级的讲解.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:05:02
周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.这个定理的证明过程我不是很明白.麻烦您点拨一下,尤其是换元换限过程,我简直是云里雾里的.希望能给一个傻瓜级的讲解.
周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.
这个定理的证明过程我不是很明白.麻烦您点拨一下,尤其是换元换限过程,我简直是云里雾里的.希望能给一个傻瓜级的讲解.
周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.这个定理的证明过程我不是很明白.麻烦您点拨一下,尤其是换元换限过程,我简直是云里雾里的.希望能给一个傻瓜级的讲解.
给个傻瓜级的吧：
区间A是[x,x+T],区间B是[y,y+T],这里先讨论x
区间B可以分成[y,x+T],[x+T,y+T]两个部分.
[x,y]的定积分显然和[x+T,y+T]的定积分相等.所以区间A和区间B的定积分相等.
如果y不在区间A内,取z=y+n*T,且x<=z
设：X1+T=X2，（T为周期）f为周期函数，F为其原函数。
f（X1）=f（X2），导数的周期等于原函数的周期。所以f（x2）在T到2T上的积分等于f（x1+T）在T到2T上的积分，而X1在0到T之间，X2在T到2T之间，则F（2T）-F（T）=F（T+T）-F（0+T）=F（T）-F（0）（用了连等，F为周期函数，同减周期之后刚好等于X1在0到T上的积分。）...
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设：X1+T=X2，（T为周期）f为周期函数，F为其原函数。
f（X1）=f（X2），导数的周期等于原函数的周期。所以f（x2）在T到2T上的积分等于f（x1+T）在T到2T上的积分，而X1在0到T之间，X2在T到2T之间，则F（2T）-F（T）=F（T+T）-F（0+T）=F（T）-F（0）（用了连等，F为周期函数，同减周期之后刚好等于X1在0到T上的积分。）
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题不难，但是，说清楚也不太容易，我们试试吧。
设f（x）的周期为T。f（x）在[c,b]上的定积分，简单记为[c,b]∫.
∵f（x）的周期为T.对于任何整数k（±皆可），总有：
[c,b]∫＝[c＋kT,b＋kT]∫.（∵f（x）＝f（x＋kT）.）
看[b,b＋T],总有一个整数n，使b′＝b＋nT∈[a,a＋T）.（阿基米德公理，简单说，用长为T的尺量...
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题不难，但是，说清楚也不太容易，我们试试吧。
设f（x）的周期为T。f（x）在[c,b]上的定积分，简单记为[c,b]∫.
∵f（x）的周期为T.对于任何整数k（±皆可），总有：
[c,b]∫＝[c＋kT,b＋kT]∫.（∵f（x）＝f（x＋kT）.）
看[b,b＋T],总有一个整数n，使b′＝b＋nT∈[a,a＋T）.（阿基米德公理，简单说，用长为T的尺量，从b起，总可量到[a,a＋T）内得b′.）
[b,b＋T]∫＝[b＋nT,b＋T＋nT]∫＝[b′,b′＋T]∫.
[a,a＋T]∫＝[a，b′]∫＋[b′，a＋T]∫.
而[a,b′]∫＝[a＋T,b′＋T]∫.
∴[a,a＋T]∫＝[a＋T,b′＋T]∫＋[b′，a＋T]∫＝[b′,b′＋T]∫
＝[b,b＋T]∫.
yzyz9981 你好，基本没有用变量代换，直观一些，是否容易接受一点，希望能够使你满意，谢谢。
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