已知数列an的前n项和sn=1+(r-1)an(常数r不等于2)求an

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:51:46
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已知数列an的前n项和sn=1+(r-1)an(常数r不等于2)求an
已知数列an的前n项和sn=1+(r-1)an(常数r不等于2)
求an

已知数列an的前n项和sn=1+(r-1)an(常数r不等于2)求an
当n=1时,S1=1+(r-1)a1=a1解得:a1=1/(r-2).
当n>1时,Sn=1+(r-1)an (1) Sn-1=1+(r-1)an-1 (2)
由Sn-Sn-1=[1+(r-1)an ]-[1+(r-1)an-1]=an
整理得:(r-2)an=(r-1)an-1
若r=1,则an-1=0,又a1=1/(r-2)!=0.所以r!=1.
所以an=[(r-1)/(r-2)]an-1
所以an是以公比q=(r-1)/(r-2),首项为1/(r-2)的等比数列.
所以an=a1q^(n-1)=(1/(r-2))[(r-1)/(r-2)]^(n-1)
=-[(r-1)^(n-1)]/(r-2)^n

当n=1是,a1=1+(r-1)a1 得a1=-1/(r-2)
当n>=2时,an=sn-s(n-1)
=(r-1)an-(r-1)a(n-1)
即an/a(n-1)=(r-1)/(r-2)
即an为首项为(-1/(r-1)),公比为(r-1)/(r-2)的等比数列。所以有

an=[-1/(r-1)][(r-1)/(r-2)]^(n-1)