关于不等式的证明已知a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:(1)(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=64(2)(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

关于不等式的证明已知a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:(1)(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=64(2)(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
关于不等式的证明
已知a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:
(1)(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=64
(2)(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

关于不等式的证明已知a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:(1)(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=64(2)(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
P=ln{(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)}=ln(1/a+1)+ln(1/b+1)+ln(1/c+1)
f(x)=ln(1/x+1)求两次导数f''=1/x^2-1/(1+x)^2>0
所以为凹函数有ln(1/a+1)+ln(1/b+1)+ln(1/c+1)>=3*ln(1/((a+b+c)/3)+1)
=3*ln(4)去掉对数
所以有(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=64
对于第二题也是一样的 可以证明

答案发错了/。。。。

原式拆开有
(a+b+c+abc+ab+bc+ac+1)/abc=1+(2/abc+1/a+1/b+1/c)
下面证明：
1.abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27
2/abc>=54
2.1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=9...

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原式拆开有
(a+b+c+abc+ab+bc+ac+1)/abc=1+(2/abc+1/a+1/b+1/c)
下面证明：
1.abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27
2/abc>=54
2.1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=9
这是因为b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=6*((b/a)*(a/b)*(c/a)*(a/c)*(b/c)*(c/b))^(1/6)=6*1^(1/6)=6 所以3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=9
以上等号成立条件均为三者相等
三式相加即可。
第二题(-a-b-c-abc+ab+bc+ac+1)/abc=-1+(1/a+1/b+1/c)
又因为上面已证1/a+1/b+1/c>=9 所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=(-a-b-c-abc+ab+bc+ac+1)/abc>=8
ps 楼上的证法真帅

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用基本不等式来证明
先证第二个：
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1) = 1/a + 1/b + 1/c -1 （乘出来化简就是这个）
1/a + 1/b + 1/c
= (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + (a+b+c)/c
= 3 + a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b
>= 3 + 2 + 2...

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用基本不等式来证明
先证第二个：
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1) = 1/a + 1/b + 1/c -1 （乘出来化简就是这个）
1/a + 1/b + 1/c
= (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + (a+b+c)/c
= 3 + a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b
>= 3 + 2 + 2 + 2 = 9
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1) >= 9-1 = 8，当a=b=c时取等号
第一个也差不多，乘出来化简得：
(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1) = 1 + 1/a + 1/b + 1/c + 2/abc
前面证过1/a + 1/b + 1/c >= 9 当a=b=c时取等号
又有 a + b + c = 1 >= 3 * 三次根号(abc)
所以 abc <= 1/27，即 2/abc >= 2*27 = 54，当a=b=c时取等号。
两部分的最小值都在a=b=c时取等号，所以可以同时取最小值。
所以(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1) >= 1+9+54 = 64

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一楼说得很对，就是这个方法
这个是高数的方法，不知楼主学过没