已知abc为不全等的正实数,证明(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 21:37:31
已知abc为不全等的正实数,证明(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
已知abc为不全等的正实数,证明(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
已知abc为不全等的正实数,证明(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
(B+C-A)/A+(A+B-C)/B+(A+B-C)/C>3
应该是(B+C-A)/A+(A+C-B)/B+(A+B-C)/C>3
即是证明:(B+C)/A+(A+C)/B+(A+B)/C>6
证明:
(B+C)/A+(A+B)/B+(A+B)/C
=B/A+C/A+A/B+C/B+A/C+B/C
=( B/A+A/B)+(C/B+B/C)+(A/C+C/A)
因为A,B,C是全不相等的正实数
B/A+A/B>2
C/B+B/C>2
A/C+C/A>2
所以( B/A+A/B)+(C/B+B/C)+(A/C+C/A)>6
从而(B+C-A)/A+(A+C-B)/B+(A+B-C)/C>3
将每一个如(b+c-a)/a的分式加2,可得上不等式等价于
(b+c+a)/a+(c+a+b)/b+(a+b+c)/c>3+6=9
提出公因式(a+b+c),得等价于(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9
而又由均值不等式的推广中有算术平均值大于调和平均值,所以有
(a+b+c)/3>=3/(1/a+1/b+1/c)的,整理即可得(a+b+c)(1/a+1/b...
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将每一个如(b+c-a)/a的分式加2,可得上不等式等价于
(b+c+a)/a+(c+a+b)/b+(a+b+c)/c>3+6=9
提出公因式(a+b+c),得等价于(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9
而又由均值不等式的推广中有算术平均值大于调和平均值,所以有
(a+b+c)/3>=3/(1/a+1/b+1/c)的,整理即可得(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9,但等号在a,b,c均相等时取得,由题目知abc不全等,所以等号不成立,所以(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9成立,也即原不等式成立。
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