高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:05:02
高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
不同:a²+b²≥2ab 对一切实数a,b都成立;
而a+b≥2√(ab) 则要求a,b是非负实数,在使用时,a,b通常是正数.
(注:√(ab)表示根号下ab)
上述两个不等式取“=”时的充要条件都是a=b,这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
先看一个例子:
例1.求f(x)=x+9/x (x>0)的最小值,并求取得最小值时的x值.
∵x>0,∴f(x)=x+9/x ≥2√(x•9/x)=6,
当且仅当 x=9/x (即x=3)时,上式取“=”号,
∴当x=3时,f(x)=x+9/x的最小值为6.
分析:
(1)若将题中条件“x>0”改为“x≠0”,就不能使用不等式 x+9/x ≥2√(x•9/x) (因为x+9/x有可能是负的);
(2)上述解法正确还依赖于两个重要条件:其一,x•9/x=9是常数(定值),从而保证求出f(x)的最小值是一个确定的数(常数6);其二,x=9/x (即x=3)能够成立,从而保证使用不等式时“=”能够成立,进而确保了函数能够取到最值.这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
下面的例子就不能直接使用基本不等式来求最值:
例2.求f(x)=x+2 + 1/(x+2) 当x≥0时的最小值
∵x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ]=2
∴ f(x)=x+2 + 1/(x+2)的最小值为2.
分析:这显然是错误的,:∵x≥0,∴x+2 ≥2,而1/(x+2)≤1/2,二者不可能相等,
从而不等式 x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ] 不能取等号,
所以 f(x)>2而不能等于2.
这个解法的错误实质就是违背了“三要素”中的“三相等”.
注:此题f(x)的最小值为5/2,可用导数知识去解.
1.有负值前面的会小,不等式方向改变,后面的涉及定义域问题。凡是都为负值时可以通过变形使用。
2.定的作用规定了不等号一边的范围,也是求解相关问题必须的条件,要不不等式没有作用了。只有有定值才能得出某一边的最大值或最小值。
3.相等必须要注意a b通过不等号成立时互相制约的关系。有些问题中均值不等式不能连续使用就是这个原因。...
全部展开
1.有负值前面的会小,不等式方向改变,后面的涉及定义域问题。凡是都为负值时可以通过变形使用。
2.定的作用规定了不等号一边的范围,也是求解相关问题必须的条件,要不不等式没有作用了。只有有定值才能得出某一边的最大值或最小值。
3.相等必须要注意a b通过不等号成立时互相制约的关系。有些问题中均值不等式不能连续使用就是这个原因。
收起
a方+b方>=2ab的适用条件是全体实数
a+b>=2根号ab要有一正,二定,三相等
高中范围内,我们知道 a方+b方>=2ab 左边配方有 (a+b)^2>=4ab 若想两边开方让不等号成立,也就是原问题中的后者成立....必须知道 f(x )=x^0.5 的 增减性. 首先满足 x>=0 这个是根号X的定义域.... 所以后者限制了 a+b 与 ab 必须同时大于零.
其次 f(x)=根号X 在定义域内单调增 ...
全部展开
高中范围内,我们知道 a方+b方>=2ab 左边配方有 (a+b)^2>=4ab 若想两边开方让不等号成立,也就是原问题中的后者成立....必须知道 f(x )=x^0.5 的 增减性. 首先满足 x>=0 这个是根号X的定义域.... 所以后者限制了 a+b 与 ab 必须同时大于零.
其次 f(x)=根号X 在定义域内单调增 故二者等价必须满足上述条件... 即a,b同为正数
(原因是f'(x)=0.5x^(-0.5),在x>0这个区间内恒大于零.)
收起
两个公式使用条件不同,前面一个适用于所有实数,后面是根号下的,所以必须是正的,上述两个不等式取“=”时的充要条件都是a=b,这在利用基本不等式求最值时是十分重要的。
a方+b方>=2ab的适用条件是全体实数
a+b>=2根号ab要有一正,二定,三相等