设f为定义在有限区间[a,b]上的实值函数.证明：若f在[a,b]的每点上极限都存在,则f有界.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 21:34:13
设f为定义在有限区间[a,b]上的实值函数.证明：若f在[a,b]的每点上极限都存在,则f有界.
设f为定义在有限区间[a,b]上的实值函数.证明：若f在[a,b]的每点上极限都存在,则f有界.
设f为定义在有限区间[a,b]上的实值函数.证明：若f在[a,b]的每点上极限都存在,则f有界.
证明：反证法,假设f(x)无界,（无界的定义,任取M,存在x0使得|f(x0)|>M）
取M1>0,则存在x1∈[a,b],使得|f(x1)|>M1
将[a,b]平均为分两个区间,
若f(x)在左边区间无界,则a1=a,b1=(a+b)/2
若f(x)在左边区间有界,则必在右边区间是无界的,
则取a1=(a+b)/2,b1=b,这样[a1,b1]长度为(b-a)/2,且f(x)在[a1,b1]上无界
取M2=2*M1,则存在x2∈[a1,b1],使得|f(x2)|>M2
将[a1,b1]平均为分两个区间,
若f(x)在左边区间无界,则a2=a1,b2=(a1+b1)/2
若f(x)在左边区间有界,则必在右边区间是无界的,
则取a2=(a1+b1)/2,b2=b1,这样[a2,b2]长度为(b-a)/2^2,且f(x)在[a2,b2]上无界
取M3=3*M1,则存在x3∈[a2,b2],使得|f(x3)|>M3
.
照这样一直做下去,我们得到一列{xn},其中每个x(i+1)∈[ai,bi]
而|f(x1)|>M1,|f(x2)|>2M1,|f(x3)|>3M1,.,|f(xn)|>n*M1,.
由于M1>0,因此 |f(xn)|-->无穷大
再由于[ai,bi]的长度是趋于0的,由闭区间套定理,存在x0属于所有的这些区间,因此{xn}的极限为x0,因此f(x)在x0处的极限不存在.与条件矛盾.
介值性的定义：设f(x)是定义在闭区间[a,b]上的实函数，对于任意x1,x2，并无穷接近0，任给t>0,都存在 k0 ，使1/2k0π <t, 所以对任意的t