求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 00:29:28
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod8)同余求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod8)同余求证：如果p是奇素数,那么任何能
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
p是奇素数这个条件有点多余,其实对奇数都成立.
证明用到平方剩余的一个结果:
引理:对奇素数q,若2是mod q的平方剩余 (即存在整数a使a² = 2(mod q)),则q = ±1(mod 8).
由条件2^p = 1(mod q),即有2^(p+1) = 2(mod q).
而p是奇数,可取a = 2^((p+1)/2),则a² = 2(mod q),2是mod q的平方剩余.
于是q = ±1(mod 8).
如果需要补充引理的证明,
p=3时，显然。
p≥4时
2^p-1=(2-1)[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3+2^2+2+1]（因式分解）
=[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3]+7
=8[2^(p-4)+....+1]+（8-1）
所以
2^p-1对一切不小于3 的自然数p，都与-1同余（模8）
自然，对一切奇素数p，也都与...
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p=3时，显然。
p≥4时
2^p-1=(2-1)[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3+2^2+2+1]（因式分解）
=[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3]+7
=8[2^(p-4)+....+1]+（8-1）
所以
2^p-1对一切不小于3 的自然数p，都与-1同余（模8）
自然，对一切奇素数p，也都与-1同余（模8）
收起
求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
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数论 证明奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充要条件是p=4m+1
如果一个两位数不能被什么数整除,那么这个两位数一定是素数
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