已知锐角三角形ABC的三条边长为连续的正整数（1）求最小边的取值范围（2）若A=2B,求三角形ABC的三边长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 22:57:48
已知锐角三角形ABC的三条边长为连续的正整数（1）求最小边的取值范围（2）若A=2B,求三角形ABC的三边长
已知锐角三角形ABC的三条边长为连续的正整数
（1）求最小边的取值范围
（2）若A=2B,求三角形ABC的三边长
已知锐角三角形ABC的三条边长为连续的正整数（1）求最小边的取值范围（2）若A=2B,求三角形ABC的三边长
（1）
3边是连续的正整数,则
1,假设三边是1、2、3,因1+2=3,不能构成三角形.
2,假设三边是2、3、4,可构成钝角三角形.
3,假设三边是3、4、5,可构成直角三角形.
4,假设三边是4、5、6,可构成锐角三角形.
5,假设三边是5、6、7,可构成锐角三角形.
……
根据上述规律,之后所形成的都是锐角三角形（因为满足最小两边的平方和大于最长边的平方）.
所以最小边的取值范围为不小于4的正整数.
（2）设三边n－1、n、n＋1,n为正整数,则：
根据正弦定理,有
sinA/sinB=(n＋1)/(n－1)
[2sinBcosB]/(sinB)=(n＋1)/(n－1)
2cosB=(n＋1)/(n－1) ①
根据余弦定理,有
cosB=[(n＋1)²＋n²－(n－1)²]/[2n(n＋1)] ②
联立①②解得：
n=5
所以三角形ABC的三边长分别为4,5,6.
① 设最小边为a 三边分别为 a b c 且b ＝ a＋ 1 c ＝ a＋2根据余弦定理，
最大边 cosC = ﹙a²＋b²－c²﹚÷2ab ＞ 0
因为最大的边所对的角也是最大的，只需要它的余弦值大于0即可
即 a² ＞...
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① 设最小边为a 三边分别为 a b c 且b ＝ a＋ 1 c ＝ a＋2根据余弦定理，
最大边 cosC = ﹙a²＋b²－c²﹚÷2ab ＞ 0
因为最大的边所对的角也是最大的，只需要它的余弦值大于0即可
即 a² ＞ c² － b²
带入数据可知 a² ＞ 2a＋ 3 即 ﹙a－1﹚² ＞ 4
所以 a ＞3
②
由题目可知a是最长的边
sinA =sin2B = 2sinBcosB 由正弦定理
a／sinA ＝ b／sinB 整理得： cosB = a／2b
即 ﹙a²＋c²－b²﹚／2ac ＝ a／2b 联立方程即可解出a 的数值
a = 6 所以 三边分别为 4 5 6
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