已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A B为切点,那么“向量”PA点乘PB的最小值是多少呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:39:04
已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A B为切点,那么“向量”PA点乘PB的最小值是多少呢?
已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A B为切点,那么“向量”PA点乘PB的最小值是多少呢?
已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A B为切点,那么“向量”PA点乘PB的最小值是多少呢?
我自己做的,说的比较清楚,应该都能看懂的!
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=...
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设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。
故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2
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∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA⊥AO、PB⊥BO、PA＝PB、∠APB＝2∠APO。
∴cos∠APB＝cos2∠APO＝1－2（sin∠APO）^2＝1－2（AO/PO）^2＝1－2/PO^2。
∴向量PA·向量PB＝PA×PBcos∠APB＝PA^2（1－2/PO^2）＝（PO^2－AO^2）（1－2/PO^2）
＝（PO^2－1）（1－2/PO^2）＝PO^2...
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∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA⊥AO、PB⊥BO、PA＝PB、∠APB＝2∠APO。
∴cos∠APB＝cos2∠APO＝1－2（sin∠APO）^2＝1－2（AO/PO）^2＝1－2/PO^2。
∴向量PA·向量PB＝PA×PBcos∠APB＝PA^2（1－2/PO^2）＝（PO^2－AO^2）（1－2/PO^2）
＝（PO^2－1）（1－2/PO^2）＝PO^2－2－1＋2/PO^2＝（PO^2＋2/PO^2）－3
≧2√［PO^2（2/PO^2）］－3＝2√2－3。
∴向量PA·向量PB的最小值为 2√2－3。
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