有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!是否能不通过和差化积公式求得？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:21:54
有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!是否能不通过和差化积公式求得？
有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二
已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!
是否能不通过和差化积公式求得？
有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!是否能不通过和差化积公式求得？
解析：由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)
由三角函数的和差化积的公式得：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.
我来猜猜 直角的！
1楼说 对了
不要“和差化积”的解法：
由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)
注意A＝0.5(A+B)+0.5(A-B),B=0.5(A+B)-0.5(A-B),
sinA-sinB
=sin[0.5(A+B)+0.5(A-B)]-sin[0.5(A+B)-0.5(A-B)]
=2cos[0.5(A+B...
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不要“和差化积”的解法：
由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)
注意A＝0.5(A+B)+0.5(A-B),B=0.5(A+B)-0.5(A-B),
sinA-sinB
=sin[0.5(A+B)+0.5(A-B)]-sin[0.5(A+B)-0.5(A-B)]
=2cos[0.5(A+B)]·sin[0.5(A-B)]
=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
同样：
sinA+sinB
=2sin[0.5(A+B)]·cos[0.5(A-B)]
=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形
注意用公式
sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy
sin(x+y)-sin(x-y)=2cosxsiny
简化运算，避免“和差化积公式”。
当然，这两个公式本质上就是和差化积公式。
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