a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明：|a|=|b|=|c|=1同上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 14:36:02
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明：|a|=|b|=|c|=1同上
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明：|a|=|b|=|c|=1
同上
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明：|a|=|b|=|c|=1同上
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
该题假设a,b,c为有理数才行,否则结论不成立,看下面例子：
设a=1-√2,b=1+√2,c=-1,则
a+b+c=1, ab+bc+ca=-1-1-√2-1+√2=-3,且abc=1,满足题中条件,但|a|=|b|=|c|=1不成立,故题改为：
a,b,c为有理数,a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
证明由a+b+c与ab+bc+ca为整数,设ab+bc+ca=n,a+b+c=m,则m与n为整数,对ab+bc+ca=n两边同乘c得
abc+c^2(a+b)=nc
由abc=1, a+b+c=m得1+c^2(m-c)=nc
c为有理数,可设c=p/q,其中p,q互素,则代入上式得
1+(p/q )^2(m-(p/q ))=n(p/q )
q^3+p^2(mq-p )-npq^2=0
p能整除上式左边后两项,故必能整除第一项,由p,q互素可知p=1或p=-1,如果p=1则由上式得
q^3+mq-1-nq^2=0
q能整除上式左边中的项q^3,mq,nq^2,故必能整除1,故q=1或q=-1,此时c=±1,同理p=-1时,也可证明c=±1,即|c|=1.
由于条件对a,b,c对称,因此也得|a|=|b|=1.
题：a+b+c与ab+bc+ca同为整数，且abc=1，证明：|a|=|b|=|c|=1
证：
a,b,c是对称的。只需证|a|=1,即aa=1.
取整数m,n,a+b+c=m,ab+bc+ca=n
于是n=a(b+c)+bc=a(m-a)+1/a,即na=aam-aaa+1
注：或者由am=aa+ab+ac=aa+n-1/a亦可得上式。
卡壳了。高手请续。
(a+b+c)(a+b+c)=a²
你就证明(a-1)(b-1)(c-1)=0就可以了呀！我现在读大四，读初中的时候也看过这道题，现在还在用呀？ 证明了其中至少1个为1之后，再代入条件，容易得出其他两个的绝对值也为1。