初中超难关于三角形的几何题如图,△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC＝1,∠A＝60°,∠ABC＝100°,∠DEC＝80°.求 S△ABC+S△DCE=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:50:30
初中超难关于三角形的几何题如图,△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC＝1,∠A＝60°,∠ABC＝100°,∠DEC＝80°.求 S△ABC+S△DCE=?
初中超难关于三角形的几何题
如图,△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC＝1,∠A＝60°,∠ABC＝100°,∠DEC＝80°.求 S△ABC+S△DCE=?
初中超难关于三角形的几何题如图,△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC＝1,∠A＝60°,∠ABC＝100°,∠DEC＝80°.求 S△ABC+S△DCE=?
过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H
则CH=AC×sin60°=√3/2
AH=AC×cos60°=1/2
BC=CH/sin80°=√3/(2sin80°)
BH=CH×ctan80°=(√3/2)ctan80°
∴AB=AH-BH=1/2-(√3/2)ctan80°
S△ABC=(1/2)AB×CH=√3/8-(3/8)ctan80°
CE=1/2BC=√3/(4sin80°)
由∠DCE=180-60-100=20°
∠DEC＝80°
得,△CDE为等腰三角形.
CD=CE=√3/(4sin80°)
S△CDE=(1/2)CD×CE×sin20°
sin20°=sin160°=sin(2×80°)=2sin80°cos80°
代入,
S△CDE=(3/16)ctan80°
∴S△ABC+S△CDE
=√3/8-(3/8)ctan80°+(3/16)ctan80°
=√3/8-(3/16)ctan80°
以下如需计算出精确值,需借助于计算器算出ctan80°的值方可.
PS：如果原题改成求S△ABC+2S△CDE,
则ctan80°刚好可以消去.
S△ABC+2S△CDE
=√3/8-(3/8)ctan80°+2×(3/16)ctan80°
=√3/8
此外,如果原题改成求S△ABC+2S△CDE,也可以利用初中几何知识,如全等三角形和相似三角形的性质来解,方法如下：
延长AB至F,使AF=AC.作∠BCF平分线交AF于G
AF=AC,∠A＝60°
∴△ACF为等边三角形
易证△ABC≌△FGC
S△ABC=S△FGC
CB=CG
△CBG为等腰三角形.顶角∠BCG=(60-20)/2=20°
△CDE中,∠DCE=180-60-100=20°
∠DEC＝80°,
∴∠EDC＝180-20-80=80°
△CDE为顶角20°的等腰三角形.
∴△CDE∽△CBG
又CE=1/2CB
∴S△CDE=1/4S△CBG
∴S△ABC+2S△CDE
=1/2(S△ABC+S△FGC)+1/2(S△CBG)
=1/2S△ACF
=1/2×(1/2×1×√3/2)
=√3/8