若p为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.（1）若点P为△ABC的费马点,且PA=4,则点A到直线PB的距离为：（2）如图所示,锐角△ABC外侧作等边△ACB',连结BB'.求证：BB

若p为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.（1）若点P为△ABC的费马点,且PA=4,则点A到直线PB的距离为：（2）如图所示,锐角△ABC外侧作等边△ACB',连结BB'.求证：BB
若p为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
（1）若点P为△ABC的费马点,且PA=4,则点A到直线PB的距离为：（2）如图所示,锐角△ABC外侧作等边△ACB',连结BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P,且BB'=PA+PB+PC.第一题要理由,

若p为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.（1）若点P为△ABC的费马点,且PA=4,则点A到直线PB的距离为：（2）如图所示,锐角△ABC外侧作等边△ACB',连结BB'.求证：BB
第一个问题：
过A作PB的垂线,垂足为D.
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB＝120°,∴点D在BP的延长线上,∴∠APD＝60°,
∴AD＝（√3/2）PA＝2√3.
第二个问题：
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB＝∠APC＝120°.
∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形,∴∠ACB′＝∠AB′C＝60°,∴∠APC＋∠AB′C＝180°,
∴A、P、C、B′共圆,∴∠APB′＝∠ACB′＝60°,∴∠APB＋∠APB′＝180°,
∴B、P、B′共线,∴BB′过△ABC的费马点.
第三个问题：
在BB′上取一点E,使PE＝PC.
∵PE＝PC、∠CPE＝∠APC－∠APB′＝120°－60°＝60°,∴△PCE是正三角形,
∴∠PCE＝∠PEC＝60°、PC＝PE＝EC.
∵△ACB′是正三角形,∴AC＝B′C.
∵∠PEC＝60°,∴∠B′EC＝120°,∴∠APC＝∠B′EC.
又∠ACP＝∠PCE－∠ACE＝60°－∠ACE＝∠ACB′－∠ACE＝∠B′CE.
∴由AC＝B′C、∠APC＝∠B′EC、∠ACP＝∠B′CE,得：△ACP≌△B′EC,∴PA＝EB′.
显然有：BB′＝PB＋PE＋EB′,又PE＝PC、EB′＝PA,∴BB′＝PA＋PB＋PC.

1.先证明共线
连接PB'
角APC+角AB'C=180°
故APCB'四点共圆
故角APB'=ACB'=60°
角APB+APB'=180°
故PB PB'共线
2.在PB'取PD=PA
故三角形PAD为等边三角形
AD=PA=PD,角ADP=60°
角ADB'=120°=APC
AP=AD,AB'=AC

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1.先证明共线
连接PB'
角APC+角AB'C=180°
故APCB'四点共圆
故角APB'=ACB'=60°
角APB+APB'=180°
故PB PB'共线
2.在PB'取PD=PA
故三角形PAD为等边三角形
AD=PA=PD,角ADP=60°
角ADB'=120°=APC
AP=AD,AB'=AC
故三角形ADB'全等于APC
DB'=PC
PB'=PD+DB'=PA+PC
BB'=PA+PB+PC
显然该费马点到三角形三个顶点的距离和最小

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（1）如图左半部分∵∠APB=120°，∴∠AP B′=60°∵∠AP B′=∠5+∠7，∴∠5+∠7=60°又∵∠ABC=∠4+∠7=60°∴∠4=∠5，同理：∠6=∠7∴△ABP∽△BPC，∴AP：BP=BP：CP∵AP=3，CP=4 ， ∴BP=










...

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（1）如图左半部分∵∠APB=120°，∴∠AP B′=60°∵∠AP B′=∠5+∠7，∴∠5+∠7=60°又∵∠ABC=∠4+∠7=60°∴∠4=∠5，同理：∠6=∠7∴△ABP∽△BPC，∴AP：BP=BP：CP∵AP=3，CP=4 ， ∴BP=

















（2）在BB′上取一点P，使∠BPC＝120°，在PB′上取点E，使PE=PC，连接AE、CE。∵∠BPC＝120°，∴CP B′=60°又∵PE=PC，∴△PCE是正三角形，∴PC=PE，∠PCE==∠PEC=60°，∴∠CE B′=120°∵∠1+∠3=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠2由“SAS”易证△APC≌△B′EC，∴B′E=PA，∠APC=∠B′EC=120°∴点P为⊿ABC的费马点，即 过⊿ABC的费马点P∴BB′=BP+PE+E B′=BP+PC+PA

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