求证：BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB 证明中为什么A,B',P,C四点共圆?若P为△ABC所在的平面上的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120,则P点叫做△ABC的费马点,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’连接BB’求证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:44:57
求证：BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB 证明中为什么A,B',P,C四点共圆?若P为△ABC所在的平面上的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120,则P点叫做△ABC的费马点,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’连接BB’求证
求证：BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB 证明中为什么A,B',P,C四点共圆?
若P为△ABC所在的平面上的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120,则P点叫做△ABC的费马点,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’连接BB’求证：BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB+PC
证明为：由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,
∴A,P,C,B′四点共圆.
∴∠APB′=∠ACB′=60°,
∴∠APB+∠APB′=180°,
∴BPB′三点共线.
在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,
由∠CPB′=120°-60°=60°,
∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,
在△APC和△B′DC中,
AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,
∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,
∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）
由（1）,（2)得：
BP+AP+CP=BB′.证毕.
求证：BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB 证明中为什么A,B',P,C四点共圆?若P为△ABC所在的平面上的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120,则P点叫做△ABC的费马点,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’连接BB’求证
B'太麻烦,用D来代替好了
在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACD连接BD,CD
因为是锐角三角形,即可在BD上选取一点P,使得角APB等于120度
则角APD等于60度,又角ACD等于60度
所以A,P,C,D四点共圆
所以角CPD等于角CAD等于60度
综上,角APC等于角BPC等于120度,可知P为费马点
下证BD=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接ED
因为内接的关系,易知角PAD+角PCD=180度,角PAD=角ECD
易证△PAD≌△ECD,又∵角DEP=角DPE=60度
∴PD=ED=PE=PC+CE=PC+PA
得证BD=PA+PB+PC
由圆周角定理可知：同弧所对圆周角是圆心角的一半。逆推可得四点共圆