如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= √2（1）求证：AO⊥平面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的大小（3）求点E到平面ACD的距离
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 05:34:56
如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= √2（1）求证：AO⊥平面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的大小（3）求点E到平面ACD的距离
如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= √2
（1）求证：AO⊥平面BCD
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小
（3）求点E到平面ACD的距离
如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= √2（1）求证：AO⊥平面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的大小（3）求点E到平面ACD的距离
第一问省略
2）
法一：
取AC中点F,连接OF、OE、EF
∵E、F分别是BC、AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF∥AB,且EF＝1/2AB＝√2/2
∵O、E分别是BD、BC的中点
∴OE∥CD,且OE＝1/2CD＝1
∴异面直线AB与CD所成的角等于∠OEF(或其补角)
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF＝1/2AC＝1
∴等腰△OEF中,cos∠OEF＝(1/2EF)/OE＝√2/4
法二：
以O为原点,建立空间直角坐标系
则B(1,0,0),D(－1,0,0),C(0,√3,0),A(0,0,1),E(1/2,√3/2,0)
向量BA＝(－1,0,1),向量CD＝(－1,－√3,0)
∴cos＝(向量B•向量CD)/(|BA| |CD|)＝√2/4
D1A
3）
由题意 CA=CB=CD=BD=2 三角行BCD为等边三角行
AB=AD=根号2 三角行ABD为等腰直角三角行
所以有0B = OD = 0A = 1/2BD = 1 即0为三角行ABD的外心
连接OC 所以OC垂直面ABD 所以 OC = 根号3
E是BC的中点,E到平面ACD的距离h 为1/2(B到平面ACD的距离)
三角形ACD为等腰三角行 C到AD的距离为（根号14）/2
四面体B-ACD的体积为1/3(2h)*1/2*AD*（根号7）/2 (1)
四面体C-ABD的体积为1/3*OC*1/2*AB*AD (2)
1/3(2h)*1/2*AD*（根号14)/2 = = 1/3*OC*1/2*AB*AD
所以 h = （根号21）/7
即点E到平面ACD的距离为（根号21）/7
CA=CB=CD，？