关于Stolz定理的问题为什么要求做分母的数列严格单增啊,Stolz定理是离散状态的洛必达法则,为什么洛必达法则就没有这个要求啊.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:26:14
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关于Stolz定理的问题
为什么要求做分母的数列严格单增啊,Stolz定理是离散状态的洛必达法则,为什么洛必达法则就没有这个要求啊.

关于Stolz定理的问题为什么要求做分母的数列严格单增啊,Stolz定理是离散状态的洛必达法则,为什么洛必达法则就没有这个要求啊.
首先,Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的.
取a[n] = n,b[n] = n+(-1)^n·√n.
则易见n → ∞时,b[n] → +∞,同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0.
然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0.
其次,L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件.
因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0,
但导函数具有介值性(Darboux定理),
因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负,即得g(x)单调.
所以这两个定理在这方面仍然是一致的.

逆命题应该是不成立的。
假设an = 1/n bn = 1/(n+1),很明显

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