已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 12:26:53
已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)
若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
1）设椭圆Ax^2+By^2=1
代入(-2.0).(1.3/2),解得A=1/4,B=1/3
所以E方程x^2/4+y^2/3=1
（2）直线L:y=k(x-1)(k不等于零)与椭圆联立：(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0;
M(x1,y1)、N(x2,y2);
x1+x2=8k^2/(3+4k^2);（1）
y1+y2=-6k/（3+4k^2）；（2）
直线AM:y=(y1)/(x1+2)(x+2);与x=4交点P（4,6y1/(x1+2)）;
直线BN:y=(y2)(x1-2)(x-2);与x=4交点Q(4,2y2/(x2-2));
PQ向量：(0,2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)),将（1）、（2）代入：
2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)=(6y1+8k^2y1+12k)/[(3+4k^2)x1+6]-(6y1)/(x1+2)
=[-(12+16k^2)x1y1+12kx1+(16k^2-24)y1+24k]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];将y1=k(x1-1)代入：
=-4k[(3+k^2)x1^2-8k^2x1+4k^2-12]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];
=0;
故PQ重合,且在x=4上
1.显然A，B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时，设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上，解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时，设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>...
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1.显然A，B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时，设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上，解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时，设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
显然b=2
再由C在椭圆上，解之a²=3
显然不合题意
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1
2.设△DFH内切圆的半径为r,D的坐标为（m，n）
由面积相等得：
1/2(DF+FH+HD)r=1/2FH*|n|
由椭圆定义：DF+FH+HD=2a+2c为定值
故当|n|最大时，r最大
r=FH*|n|/(DF+FH+HD)=2*√3/6=√3/3
显然，当D在短轴顶点时r最大
此时△DFH为等腰三角形
故内切圆圆心在y轴上
这样内切圆圆心坐标为（0，±√3/3）
3.设M（x1，y1）N（x2，y2）
联立y=k（x-1）与x²/4+y²/3=1得：
3x²+4k²（x-1）²-12=0
整理得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理：
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM：y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN：y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标：
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M，N在l上
故：y1=k（x1-1）y2=k（x2-1）
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k（x1-1）]/[(x1+2)k（x2-1）]
=[(x2-2)（x1-1）]/[(x1+2)（x2-1）]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上
收起