证明:当x>1时,有e^x>xe

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 12:56:50
证明:当x>1时,有e^x>xe证明:当x>1时,有e^x>xe证明:当x>1时,有e^x>xe令f(x)=e^x-exf''(x)=e^x-ex>1则e^x>e^1即f''(x)>0所以x>1时,f(x

证明:当x>1时,有e^x>xe
证明:当x>1时,有e^x>xe

证明:当x>1时,有e^x>xe
令f(x)=e^x-ex
f'(x)=e^x-e
x>1
则e^x>e^1
即f'(x)>0
所以x>1时,f(x)是增函数
f(1)=e-e=0
x>1
则f(x)>f(1)=0
所以e^x>ex

设f(x)=e^x-xe
则有f'(x)=e^x-e
当x>1时，f'(x)>0,即它是一个增函数，
而f(1)=0
∴当x>1时，f(x)>f(1)=0
----->e^x-xe>0
----->e^x>xe

证明:设F(x)=e^x-xe
要证明当x>1时，有e^x>xe,只需证当x>1时,F(x)>0
对F(x)求导,得F'(x)=e^x-e,令F'(x)>0得x>1,
可知当x>1时,F(x)单调递增,故对于任意x>1,有
F(x)>F(1)=0
故原命题成立.

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