已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144 求A的三个特征值 已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144求A的三个特征值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 11:47:19
已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144求A的三个特征值已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144求A的三个特征值已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-

已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144 求A的三个特征值 已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144求A的三个特征值
已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144 求A的三个特征值
已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144
求A的三个特征值

已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144 求A的三个特征值 已知A是三阶可逆矩阵,且满足A^2-A-6E=0,|A*|=144求A的三个特征值
0=A^2-A-6E=(1/6)(3E-A)(-2E-A)
故有r(3E-A)+r(-2E-A)<=3+r(3E-A)(-2E-A)=3
对于a1=3 其次线性方程组
（aE-A）X=0解空间Va1维数为3-r(3E-A)
对于a2=-2
（aE-A）X=0解空间Va2维数为3-r(-2E-A)
而Va1+Va2是直和 所以dimVa1+dimVa2=dim(Va1+Va2)<=dimV=3
即 3-r(3E-A)+3-r(-2E-A)<=3
故 r(3E-A)+r(-2E-A)>=3
故 r(3E-A)+r(-2E-A)=3
所以V就是Va1和Va2的直和.则A的矩阵可对角化,在Va1和Va2各取一组基,合并成V的一组基,那么A在此组基下的矩阵是对角形.即A的特征值必为3和-2
又|A*|=144=|A|的n-1次方 即 |A|平方等于144 |A|=12或-12
又特征值的所有值的乘积为 |A|
则 3*（-2）*a3=12或-12 a3=2或-2
而由前分析 A除了3和-2以外没有别的特征值了.所以必有a3=-2.
所以A的特征值为3,-2,-2.

设a是特征值
A^2-A-6E=0，a^2-a-6=0
a=(-2)or3
A*=det(A)A^(-1)
det(A*)=det[det(A)A^(-1)]=[det(A)]^3*det[A^(-1)=[det(A)]^2=144
det(A)=12
三个特征值乘起来为12
所以另一个为-2
所以三个特征值为-2，-2，3

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