已知A满足A^2-3A-3E=0,证A+2E可逆,并求其逆矩阵?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/21 20:41:30

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已知A满足A^2-3A-3E=0,证A+2E可逆,并求其逆矩阵?
(A+2E)(A-5E)=-7E

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证明：由A^2-2A-3E=0
知(A+2E)(A-4E)=-5E
右边是可逆矩阵，而且可以写成左边的两个矩阵的乘积，所以根据矩阵乘积的rank（秩）小于等于各乘数矩阵rank的最小值这一原理，左边的两个矩阵都是满秩的，即都是可逆的，故A+2E可逆，且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).
故A+2E可逆
且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).
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