奇函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e图在x=1处的切线方程为y=x-2,求奇函数的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 04:20:26
奇函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e图在x=1处的切线方程为y=x-2,求奇函数的解析式
奇函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e图在x=1处的切线方程为y=x-2,求奇函数的解析式
奇函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e图在x=1处的切线方程为y=x-2,求奇函数的解析式
奇函数性质有f(-x)=-f(x),f(0)=0
代入后知a=0,c=0,e=0(以后直接用这种结论,偶数次幂的系数都是0,而奇函数在点0处若有定义,那么一定是0)
得y=bx^3+dx
求导得y=3bx^2+d
在x=1时切点在y=x-2上,那么点是(1,-1),他也在y=bx^3+dx上 ,有:-1=b+d
y=x-2的斜率是1,所以有1=3b+d
两个方程得b=1,d=-2
解析式为y=x^3-2x
y=x^3-2x
解这类题目要抓住三点：对称性，切线斜率和切点
因为y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e是奇函数，
所以y(x)=y(-x)对一切x成立 即: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e+ax^4+b(-x)^3+cx^2+d(-x)+e=0
整理得：ax^2+c+e=0 对一切x成立
所以a=c=e=0
...
全部展开
解这类题目要抓住三点：对称性，切线斜率和切点
因为y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e是奇函数，
所以y(x)=y(-x)对一切x成立 即: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e+ax^4+b(-x)^3+cx^2+d(-x)+e=0
整理得：ax^2+c+e=0 对一切x成立
所以a=c=e=0
(此上为条件一：对称性)
对于y=x-2，当x=1时，y=-1
因为y=x-2是函数的切线，所以
y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e过点（1，-1）
所以a+b+c+d+e=-1
即b+d=-1
（此上为条件二：切点）
对y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e求导，
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d
因为在x=1时，切线斜率为1
所以当x=1时，y'=1
即4a+3b+2c+d=1
即3b+d=1
（此上为条件三：斜率）
解得：b=1
d=-2
所以y=x^3-2x
收起