如图,在△ABC中,求证（1）若AD为角BAC的平分线,则S△ABD：S△ACD=AB:AC（2）设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 20:15:12

如图,在△ABC中,求证（1）若AD为角BAC的平分线,则S△ABD：S△ACD=AB:AC（2）设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线如图,在△

如图,在△ABC中,求证（1）若AD为角BAC的平分线,则S△ABD：S△ACD=AB:AC（2）设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线
如图,在△ABC中,求证
（1）若AD为角BAC的平分线,则S△ABD：S△ACD=AB:AC
（2）设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线

如图,在△ABC中,求证（1）若AD为角BAC的平分线,则S△ABD：S△ACD=AB:AC（2）设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E和F
在RT△ADE和RT△ADF中,可以求得DE=ADsin∠BAD,DF=ADsin∠CAD
（1）因为AD为角BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD,所以sin∠BAD=sin∠CAD
所以S△ABD：S△ACD=(1/2AB*ADsin∠BAD)：(1/2AC*ADsin∠CAD)=AB：AC
（2）因为S△ABD：S△ACD=(1/2AB*ADsin∠BAD)：(1/2AC*ADsin∠CAD)=AB：AC,
所以sin∠BAD=sin∠CAD,因为∠BAD与∠CAD都是锐角,所以∠BAD=∠CAD,即AD为∠BAC的平分线

三角形面积公式S＝0.5*absinC
S△ABD：S△ACD=（0.5*AB*ADsin角BAD）：（0.5*AC*ADsin角CAD）=AB:AC
反之：（0.5*AB*ADsin角BAD）：（0.5*AC*ADsin角CAD）=AB:AC，
表明sin角BAD=sin角CAD，可证AD为∠BAC的平分线