设函数f(x)的定义域为正整数,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1则f(25)=多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 17:00:13
设函数f(x)的定义域为正整数,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1则f(25)=多少?
设函数f(x)的定义域为正整数,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1则f(25)=多少?
设函数f(x)的定义域为正整数,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1则f(25)=多少?
设x=y=1
f(2)=f(1)+f(1)+1=3
f(4)=f(2)+f(2)+2*2=3+3+4=10
f(8)=f(4)+f(4)+4*4=10+10*16=36
f(16)=f(8)+f(8)+8*8=36+36+64=136
f(24)=f(16)+f(8)+16*8=136+36+128=300
f(25)=f(24)+f(1)+24*1=300+1+24=325
f(n+1)=f(n)+f(1)+n
f(n+1)=f(n)+1+n
所以
f(2)=f(1)+2
f(3)=f(2)+3
……
f(25)=f(24)+25
相加得
f(25)=1+2+……+25
=25*26/2
=325
f(1)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1*1=3
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)+2*2=10
f(8)=f(4+4)=f(4)+f(4)+4*4=36
f(16)=f(8+8)=f(8)+f(8)+8*8=136
f(24)=f(8+16)=f(8)+f(16)+8*16=300
f(25)=f(1+24)=f(1)+f(24)+1*24=325
令y=1得
f(x+1)=f(x)+f(1)+x*1
即f(x+1)=f(x)+(x+1)
f(x+1)-f(x)=x+1
得:
f(x)-f(x-1)=x
....
f(2)-f(1)=2
以上相加得:
f(x) -f(1)=(2+x)(x-1)/2
f(x)=x(x+1)/2
f(25)= 25(25+1)/2=325