用柯西不等式证明一道题目!2/a+b + 2/b+c + 2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 16:31:48
用柯西不等式证明一道题目!2/a+b+2/b+c+2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明用柯西不等式证明一道题目!2/a+b+2/b+c+2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明

用柯西不等式证明一道题目!2/a+b + 2/b+c + 2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明
用柯西不等式证明一道题目!
2/a+b + 2/b+c + 2/c+a>9/a+b+c
要详细的用柯西不等式证明

用柯西不等式证明一道题目!2/a+b + 2/b+c + 2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明
[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=[(a+b)*1/(a+b)+(b+c)*1/(b+c)+(c+a)*1/(c+a)]^2=3^2=9
所以2(a+b+c)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9
所以2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>=9/(a+b+c)

[2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)][(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(3√2)^2=18
移项即得2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)≥9/(a+b+c)

证明:
2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
>=3[(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3){[1/(a+b)][1/(b+c)][1/(c+a)]}^ (1/3)=9
两边同除(a+b+c)
得到 2/(a+b) +2/(b+c )+ 2/(c+a )≥9/(a+b+c)